公式

$l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1} \quad l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$

拉格朗日插值	2点一阶(一次多项式)	3点二阶(二次多项式)
插值节点	$(x_0,y_0)、(x_1,y_1)$	$(x_0,y_0)、(x_1,y_1)、(x_2,y_2)$
基函数	$l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1} \quad l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$	$l_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$ $l_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} \quad l_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$
插值函数	$L_1(x) = y_0l_0(x) + y_1l_1(x)$	$L_2(x) = y_0l_0(x) + y_1l_1(x) + y_2l_2(x)$
说明	每2点间有2个基函数	每3点间有3个基函数

$l_0(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)\cdots (x_0-x_n)}$
$l_i(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots (x-x_n)} {(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots (x_i-x_n)} \quad (i=1,2,\cdots ,n-1)$
$l_0(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_{n-1})}{(x_n-x_0)(x_n-x_2)\cdots (x_n-x_{n-1})}$

$l_0(x)=\begin{cases} \frac{x-x_1}{x_0-x_1} & x_0≤x≤x_1 \\ 0 & 其他 \end{cases}$

$l_i(x)=\begin{cases} \frac{x-x_{i-1}}{x_i - x_{i-1}} & x_{i-1}≤x≤x_{i} \\ \frac{x-x_{i+1}}{x_i - x_{i+1}} & x_{i}≤x≤x_{i+1} \quad\quad (i=1,2,\cdots, n-1)\\ 0 & 其他 \end{cases}$

$l_0(x)=\begin{cases} \frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}} & x_{n-1}≤x≤x_{n} \\ 0 & 其他 \end{cases}$

$L(x) = y_0l_0(x) + y_1l_1(x) + y_2l_2(x) + y_3l_3(x) + \cdots + y_nl_n(x)$

常用数值积分	梯形公式	辛普森公式	牛顿-科茨求积公式
性质	拉格朗日型	拉格朗日型	拉格朗日型
基函数	2点线性插值	3点二次插值	n+1点n次插值
插值点	$x_0,x_1$	$x_0, x_1, x_2$	$x_0, x_1, \cdots, x_{n+1}$
插值函数	$L_1(x) = f(x_0)l_0(x) + f(x_1)l_1(x)$	$L_1(x) = f(x_0)l_0(x) + f(x_1)l_1(x) + f(x_2)l_2(x)$	$L_n(x) = f(x_0)l_0(x) + f(x_1)l_1(x) + \cdots + f(x_n)l_n(x)$
求积公式	$\int_{a}^{b}f(x)dx ≈ \int_{a}^{b}L_1(x)dx$	$\int_{a}^{b}f(x)dx ≈ \int_{a}^{b}L_2(x)dx$	$\int_{a}^{b}f(x)dx ≈ \int_{a}^{b}L_n(x)dx$

$L_1(x) = \int_{a}^{b}[f(x_0)\frac{x-x_1}{x_0-x_1} + f(x_1)\frac{x-x_0}{x_1-x_0}]dx$

$L_2(x) = \int_{a}^{b}[f(x_0)\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + f(x_1)\frac{(x-x_0)(x_x2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + f(x_2)\frac{(x-x_0)(x_0-x_1)}{(x_2-x_1)(x_2-x_0)})]dx$

$l_i(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots (x-x_n)} {(x_i-x_0)(x_i-x_1)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots (x_i-x_n)} \quad (i=1,2,\cdots ,n-1)$

<table>

基础方法	梯形	辛普森	6阶牛顿-科茨
$\int_{0}^{5}\frac{4}{1+x^2}dx ≈ 5.49360307$	$10.384615$	$5.3006189$	$5.4454758$
进化方法	6次复化梯形	6次加密复化梯形	6次龙贝格
$\int_{0}^{5}\frac{4}{1+x^2}dx ≈ 5.49360307$	$5.4968779$	$5.4935730$	$5.4936031$

三个有关正交的概念

如果 $\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx = 0$ 我们称函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上正交；
如果 $\int_{a}^{b}p(x)f(x)g(x)dx = 0$ 称函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上带权 $p(x)$ 正交；
如果有一个"多项式"序列 $\{g_{k}(x)\}_{k=0}^{\infty}$ (每一项 $g_{k}(x)$ 就表示一个k次多项式)，如果这个多项式序列所有元素满足下面的规律：

$\int_{a}^{b}p(x)g_{m}(x)g_{n}(x)dx=\begin{cases} 0 & 当m≠n \\ \int_{a}^{b}p(x)[g_{m}(x)]^{2}dx & 当m=n \\ \end{cases}$
我们称 $\{g_{k}(x)\}_{k=0}^{\infty}$ 为在区间 $[a,b]$ 上带权 $p(x)$ 的"正交多项式序列"；序列中的每一个元素，我们可以叫它"一个正交多项式"！

$\int_{-1}^{1}p(x)f(x)dx ≈ \sum_{i=0}^NA_if(x_i)$
$\int_{-1}^{1}f(x)dx = \int_{-1}^{1}1f(x)dx ≈ \sum_{i=0}^NA_if(x_i)$

$x_i = \frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n = 0$

$A_i = \int_{-1}^{1}p(x)l_i(x)dx$

clear; clc;
format long;

syms x;
n = double(input('输入使用几点(n)的高斯-勒让德插值:'));
% n点插值的高斯-勒让德多项式Pn和对应插值节点Xi:
f = x^2 -1;
fprintf('%d点高斯-勒让德多项式为:\n',n)
P = vpa(1/(2^n*factorial(n)) * diff(f^n,x,n))   % 勒让德多项式
Xi = sort(double(solve(P)))';                   % 对应的插值节点

% n点高斯-勒让德插值节点对应的插值系数Ai:
xnum = Xi;
l = sym(zeros(1,n));  
Ai = zeros(1,n);
for m = 1:n
    l(m) = prod(x - xnum([1:m-1 m+1:n]))/prod(xnum(m) - xnum([1:m-1 m+1:n])); 
    Ai(m) = double(int(l(m),x,-1,1));   % 插值系数
end

fprintf('%d点高斯-勒让德插值节点为:\n',n);
Xi
fprintf('%d点高斯-勒让德插值节点对应的系数为:\n',n);
Ai

	插值节点 $x_i$	插值系数 $A_i$
10阶高斯-勒让德求积	$±0.973906528517172$ $±0.865063366688985$ $±0.679409568299024$ $±0.433395394129247$ $±0.148874338981631$	$0.066671344308688$ $0.149451349150581$ $0.219086362515982$ $0.269266719309996$ $0.295524224714753$

原函数与精确解	10点高斯-勒让德求积	10点复化梯形(分段线性)求积
$\int_{0}^{5}\frac{4}{1+x^2}dx≈5.4936031$	$5.\color{red}{493}5968$	$5.\color{red}{49}24163$
$\color{red}{精确度}$	小数点后3位	小数点后2位

$\left\{ \begin{matrix} \color{blue}{b_1} & \color{blue}{c_1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{blue}{a_2} & \color{blue}{b_2} & \color{blue}{c_2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{blue}{a_3} & \color{blue}{b_3} & \color{blue}{c_3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{blue}{a_4} & \color{blue}{b_4} & \color{blue}{c_4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{blue}{a_5} & \color{blue}{b_5} & \color{blue}{c_5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{blue}{a_6} & \color{blue}{b_6} \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5 \\ x6 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} \color{blue}{r_1} \\ \color{blue}{r_2} \\ \color{blue}{r_3} \\ \color{blue}{r_4} \\ \color{blue}{r_5} \\ \color{blue}{r_6} \\ \end{matrix} \right\}$

第一步：将系数矩阵转A为上三角矩阵

第一行方程： $\color{blue}{b_1}x_1 + \color{blue}{c_1}x_2 = \color{blue}{r_1}$ 两边除以 $\color{blue}{b_1}$ 得： $x_1 + \color{blue}{\frac{c_1}{b_1}}x_2 = \color{blue}{\frac{r_1}{b_1}}$
重新记录为： $x_1 + \color{red}{r_1}x_2 = \color{red}{p_1} \quad \color{red}{r_1} = \color{blue}{\frac{c_1}{b_1}} \quad \color{red}{p_1} = \color{blue}{\frac{r_1}{b_1}}$
新的矩阵方程变为：
$\left\{ \begin{matrix} \color{red}{1} & \color{red}{r_1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{blue}{a_2} & \color{blue}{b_2} & \color{blue}{c_2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{blue}{a_3} & \color{blue}{b_3} & \color{blue}{c_3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{blue}{a_4} & \color{blue}{b_4} & \color{blue}{c_4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{blue}{a_5} & \color{blue}{b_5} & \color{blue}{c_5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{blue}{a_6} & \color{blue}{b_6} \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5 \\ x6 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} \color{red}{p_1} \\ \color{blue}{r_2} \\ \color{blue}{r_3} \\ \color{blue}{r_4} \\ \color{blue}{r_5} \\ \color{blue}{r_6} \\ \end{matrix} \right\}$

第二行方程： $\color{blue}{a_2}x_1 + \color{blue}{b_2}x_2 + \color{blue}{c_2}x_3= \color{blue}{r_2}$
用新矩阵的第一行消去第二行的 $x_1$ 得： $(\color{blue}{b_2} - \color{blue}{a_2}\color{red}{r_1})x_1 + \color{blue}{c_2}x_3 = \color{blue}{r_2} - \color{blue}{a_2}\color{red}{p_1}$
重新记录为： $x_2 + \color{red}{r_2}x_3 = \color{red}{p_2} \quad \color{red}{r_2} = \frac{\color{blue}{c_2}}{\color{blue}{b_2} - \color{blue}{a_2}\color{red}{r_1}} \quad \color{red}{p_2} = \frac{\color{blue}{r_2} - \color{blue}{a_2}\color{red}{p_1}}{\color{blue}{b_2} - \color{blue}{a_2}\color{red}{r_1}}$
新的矩阵方程变为：
$\left\{ \begin{matrix} \color{red}{1} & \color{red}{r_1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{r_2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{blue}{a_3} & \color{blue}{b_3} & \color{blue}{c_3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{blue}{a_4} & \color{blue}{b_4} & \color{blue}{c_4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{blue}{a_5} & \color{blue}{b_5} & \color{blue}{c_5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{blue}{a_6} & \color{blue}{b_6} \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5 \\ x6 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} \color{red}{p_1} \\ \color{red}{p_2} \\ \color{blue}{r_3} \\ \color{blue}{r_4} \\ \color{blue}{r_5} \\ \color{blue}{r_6} \\ \end{matrix} \right\}$

每一行同理递推后，最终新的矩阵方程变为：
$\left\{ \begin{matrix} \color{red}{1} & \color{red}{r_1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{r_2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{r_3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{r_4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{r_5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{red}{0} & \color{red}{1} \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5 \\ x6 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} \color{red}{p_1} \\ \color{red}{p_2} \\ \color{red}{p_3} \\ \color{red}{p_4} \\ \color{red}{p_5} \\ \color{red}{p_6} \\ \end{matrix} \right\}$

第二步：方程逆序求解

$x_6 = \color{red}{p_6} \quad x_5 = \color{red}{p_5} - \color{red}{r_5x_6} \quad x_4 = \color{red}{p_4} - \color{red}{r_4x_5}$
$x_3 = \color{red}{p_3} - \color{red}{r_3x_4} \quad x_2 = \color{red}{p_2} - \color{red}{r_2x_3} \quad x_1 = \color{red}{p_1} - \color{red}{r_1x_2}$

Thomas算法通式

$\left\{ \begin{matrix} b_1 & c_1 & & & 0\\ a_2 & b_2 & c_2 & & \\ & a_3 & b_3 & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & c_{n_1} \\ 0 & & & a_n & b_n \end{matrix} \right\} \left\{ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \\ d_4 \\ d_5 \\ d_6 \end{matrix} \right\}$

系数变化通式：
$c^{'}_i=\begin{cases} \frac{c_i}{b_i} & i = 1 \\ \frac{c_i}{b_i - c^{'}_{i-1}a_i} & i = 2,3,\cdots,n-1\\ \end{cases} \quad\quad d^{'}_i=\begin{cases} \frac{d_i}{b_i} & i = 1 \\ \frac{d_i - d^{'}_{i-1}a_i}{b_i - c^{'}_{i-1}a_i} & i = 2,3,\cdots,n-1\\ \end{cases}$

解的通式：
$x_i = d^{'}_{i} - c^{'}_{i}x_{i+1} \quad\quad i = n-1,n-2,\cdots, 1$

$k\frac{d^2f}{d^2x} + s(x) = 0 \quad 0≤x≤L$

$\begin{cases} k\frac{d^2f}{d^2x} + s(x) = 0 \\ q_0 = -k(\frac{df}{dx})_{x=0} \quad\quad f(x=L) = f_L\\ \end{cases}$

参数	f(x)	s(x)	k
含义	杆上温度函数	杆上单位长度的产热率	杆材料热传导系数;

	Neumann边界条件	Dirichlet边界条件
内容	杆左端 $x=0$ 处的热通量已知	杆右端 $x=L$ 处温度已知;
公式	$q_0 = -k(\frac{df}{dx})_{x=0} \quad q_0为给定常数$	$f(x=L) = f_L \quad f_L为给定常数$

发现：公式中 $f(x)$ 与 $s(x)$ 都是 $x$ 的函数，可以用 $N_E+1$ 个插值点近似

$f(x) ≈ \sum_{j=1}^{N_E+1}f_j\phi_j(x) \quad s(x) ≈\sum_{j=1}^{N_E+1}s_j\phi_j(x)$

注意：

上两式中的 $\phi_j(x)$ 是同一套拉格朗日插值基函数！因为大家都是用的同一个区域；
这个例子用的全是分段线性拉格朗日插值，即每个基函数都是前文中线性函数；
插值点包括左右2个端点，即总共 $N_E+1$ 个插值点，把杆分成了 $N_E+1$ 份；
区间可以不均分，随便怎么分都行！一般给一种固定的区间分法是为了好编程而已。

$\int_{0}^{L}\phi_i(x)[k\frac{d^2f}{d^2x} + s(x)]dx = 0 \quad\quad \phi_i(i = 1,2,\cdots, N_E)$

基于Galerkin积分式：
$\int_{0}^{L}\phi_i(x)[k\frac{d^2f}{d^2x} + s(x)]dx = 0 \quad\quad \phi_i(i = 1,2,\cdots, N_E)$

现在，我们把 $\phi_i(x)$ 带进去相乘并进行展开，将 $\phi_i(x)$ 和 $s(x)$ 缩写为 $\phi_i$ 和 $s$ ：
$\int_{0}^{L}(\phi_ik\frac{d^2f}{d^2x} + \phi_is)dx = \int_{0}^{L}\phi_ik\frac{d^2f}{d^2x}dx + \int_{0}^{L}\phi_isdx$

对于右边第一项，我们用分部积分法再展开为：
$\int_{0}^{L}\phi_ik\frac{d^2f}{d^2x}dx = \int_{0}^{L}[ k\frac{d}{dx}(\phi_i\frac{df}{dx}) - k\frac{d\phi_i}{dx}\frac{df}{dx} ]dx$

将上式带回上上式，将Galerkin积分式完整展开为：
$-k(\frac{df}{dx})_{x=0} + k(\frac{df}{dx})_{x=L} - k\int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{df}{dx}dx + \int_{0}^{L}\phi_isdx = 0$

根据插值的性质，将公式进一步改写为：

$-\delta_{i,1}k(\frac{df}{dx})_{x=0} + \delta_{i,N_E+1}k(\frac{df}{dx})_{x=L}- k\int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{df}{dx}dx + \int_{0}^{L}\phi_isdx = 0$

根据分段线性插值基函数性质， $\delta_{i,N_E+1}=0$ ，即左边第二项为0；根据边界条件 $q_0 = -k(\frac{df}{dx})_{x=0}$ ，左边第一项为已知。带入这两个条件到上式中：

$\delta_{i,1}q_0 - k\int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{df}{dx}dx + \int_{0}^{L}\phi_isdx = 0$

一般将上式带 $f(x)$ 的都移到左边，带 $s(x)$ 都移动右边，故写成：

$\int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{df}{dx}dx = \frac{q_0}{k}\delta_{i,1} + \frac{1}{k}\int_{0}^{L}\phi_isdx$

上式即为"Galerkin有限元基本方程"，也就是有限元操作的"方程改写"完成。

完成了公式改写，下面要对新的公式进行空间离散，根据分段线性插值：

$f(x) ≈ \sum_{j=1}^{N_E+1}f_j\phi_j(x) \quad s(x) ≈\sum_{j=1}^{N_E+1}s_j\phi_j(x)$

将上式带入到"Galerkin有限元基本方程"中：

$\sum_{i,j=1}^{N_E}\left( \int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{d\phi_j}{dx}dx \right)f_j = - \left( \int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{d\phi_{N_{E+1}}}{dx}dx \right)f_L + \frac{q_0}{k}\delta_{i,1} + \sum_{i,j=1}^{N_E+1}\left( \int_{0}^{L}\phi_i\phi_jdx \right)s_j$

注意：为什么上式左边求和只到 $N_E$ ？因为边界条件 $f_L$ 是已知的，因为把最后一项(已知项)单独拿出了而已。上式方程用矩阵来表达：

$Df = b$

其中：
$b = c + \frac{1}{k}\tilde{M}s \quad\quad c = [\frac{q_0}{k},0,\cdots,0,\frac{f_L}{h_{N_E}}]^{T} \quad\quad s = [s1,s2,\cdots,s_{N_E},s_{N_E+1}]^{T}$

扩散矩阵D和质量M如下：
$D_{ij} = \int_{0}^{L}\frac{d\phi_i}{dx}\frac{d\phi_j}{dx}dx \quad\quad \tilde{M_{ij}} = \int_{0}^{L}\phi_i\phi_jdx \quad\quad f = [f1,f2,\cdots, f_{N_E-1},f_{N_E}]^{T}$

具体内容很简单：

$D_{ij}=\begin{cases} \frac{1}{h_1} & i = j = 1 \\ \frac{1}{h_{i-1}} + \frac{1}{h_{i}} & i = j ≠ 1,N_E+1 \\ \frac{1}{h_{N_E}} & i = j = N_E+1 \\ -\frac{1}{h_i} & j = i + 1 \\ -\frac{1}{h_{i-1}} & j = i - 1 \\ 0 & 其他 \end{cases} \quad\quad M_{ij}=\begin{cases} \frac{h_1}{3} & i = j = 1 \\ \frac{h_{i-1}}{3} + \frac{h_{i}}{3} & i = j ≠ 1,N_E+1 \\ \frac{h_{N_E}}{3} & i = j = N_E+1 \\ \frac{h_i}{6} & j = i + 1 \\ \frac{h_{i-1}}{6} & j = i - 1 \\ 0 & 其他 \end{cases}$

$M_{ij}=\begin{cases} \frac{h_1}{3} & i = j = 1 \\ \frac{h_{i-1}}{3} + \frac{h_{i}}{3} & i = j ≠ 1,N_E+1 \\ \frac{h_{N_E}}{3} & i = j = N_E+1 \\ \frac{h_i}{6} & j = i + 1 \\ \frac{h_{i-1}}{6} & j = i - 1 \\ 0 & 其他 \end{cases}$

$D = \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{h_1} & -\frac{1}{h_1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ -\frac{1}{h_1} & \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} & -\frac{1}{h_2} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{h_{N_E-3}} + \frac{1}{h_{N_E-2}} & \frac{1}{h_{N_E-2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\frac{1}{h_{N_E-2}} & \frac{1}{h_{N_E-2}} + \frac{1}{h_{N_E-1}} & -\frac{1}{h_{N_E-1}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{h_{N_E-1}} & \frac{1}{h_{N_E-1}} + \frac{1}{h_{N_E}} \end{matrix} \right\}_{N_E \times N_E}$

$\tilde{M} = \left\{ \begin{array}{cccccccc|c} \frac{h_1}{3} & \frac{h_1}{6} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{h_1}{6} & \frac{h_1}{3} + \frac{h_2}{3} & \frac{h_2}{6} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{h_2}{6} & \frac{h_2}{3} + \frac{h_3}{0} & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{h_{N_E-3}}{3} + \frac{h_{N_E-2}}{3} & \frac{h_{N_E-2}}{3} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{h_{N_E-2}}{6} & \frac{h_{N_E-2}}{3} + \frac{h_{N_E-1}}{3} & \frac{h_{N_E-1}}{6} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac{h_{N_E-1}}{6} & \frac{h_{N_E-1}}{3} + \frac{h_{N_E}}{3} & \frac{h_{N_E}}{6} \end{array} \right\}_{N_E \times (N_E+1)}$

$s(x) = s_0exp(-5\frac{x^2}{L^2})$

	杆长L	单元总数 $N_E$	单元剖分伸缩率a	边界条件 $f(L)$	边界常数 $q_0$	热源常数 $s_0$
数值	1.0	16	5	0.0	-1.0	10.0

$\frac{d^2f}{dx^2} + af = 0$

	杆长L	单元总数 $N_E$	单元剖分伸缩率a	边界条件 $f(L)$	边界常数 $q_0$	热源常数 $a$
数值	1.0	32	2	-0.2	-1.0	87.4

方程的精确解为：
$f(x)=\begin{cases} c_1sin(\sqrt{a}x) + c_2cos(\sqrt{a}x) & a>0 \\ c_1exp(\sqrt{|a|}x) + c_2exp(-\sqrt{|a|}x) & a<0 \\ \end{cases}$

当 $a>1$ 时常数：
$c_1 = -\frac{q_0}{k\sqrt{a}} \quad \quad c_2 = \frac{f_L - c_1sin(\sqrt{a}L)}{cos(\sqrt{a}L)}$

当 $a<1$ 时常数：
$c_1 = \frac{ f_L - \hat{q_0}exp(-\sqrt{|a|}L) }{ exp(\sqrt{|a|}L) + exp(-\sqrt{|a|}L) } \quad \quad c_2 = \frac{ f_L + \hat{q_0}exp(\sqrt{|a|}L) }{ exp(\sqrt{|a|}L) + exp(-\sqrt{|a|}L) } \quad \quad \hat{q_0} = \frac{q_0}{k\sqrt{|a|}}$

	插值节点 $x_i$	插值系数 $A_i$
6阶Lobatto求积	$±0.871740148509607$ $±0.591700181433142$ $±0.209299217902479$	$0.21070422714350$ $0.34112269248350$ $0.41245879465870$

线性代数总结

行列式总结:

行列式一定是正方形的；
对换行列式的两行，行列式结果要变号；
代数余子式：在n阶行列式中，把(i,j)元 $a_{ij}$ 所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做 $a_{ij}$ 的"余子式"，记做 $M_{ij}$ (就是原行列式简单的划掉一行和一列后剩下的东西)。元 $a_{ij}$ 的"代数余子式"记为 $A_{ij}$ 。代数余子式和余子式之间的关系为：

$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$

矩阵总结

（1）基本内容：

矩阵很多特殊操作，尤其是牵扯到相应行列式时，这个矩阵都是正方形的；
矩阵A的伴随矩阵：矩阵A的各个元素位置由元素对应的代数余子式代替，并做一次转置后得到：

$A^* = \left( \begin{matrix} A_{11} & \color{red}{A_{21}} & \cdots & A_{n1} \\ \color{red}{A_{12}} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{matrix} \right)$

矩阵可逆判断(充要条件1)： $|A|≠0$ ；可逆矩阵 = 非奇异矩阵；逆矩阵求法：

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}$

克拉默法则：n个方程n个未知数的正方形方程组，如果正方形系数矩阵A的行列式值不为0，即 $|A|≠0$ ，则该方程组有唯一解！
解线性方程组矩阵的3种初等变换：1. 对换两行；2. 某行元素整体乘个系数k；3. 把做完2步的那一行加到另一行去。初等变换不改变方程的解！！即始终同解。与行列式变换不同！！
矩阵可逆判断(充要条件2)：矩阵A经过有限次初等变换后，可以变成单位矩阵E；

（2）矩阵与线性方程组：

对应线性方程组： $Ax = b$ ，右端矩阵b不为0是"非齐次线性方程组"，为0就是"齐次线性方程组"。系数矩阵A可以是正方形也可以是长方形。
矩阵A(任意形状)的子式：在mxn矩阵A中，任取k行k列(k≤m, k≤n)，位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素，不改变它们在A中所处的相对位置而得到k阶行列式，称为矩阵A的k阶(主)子式。注意：子式是一个行列式，也就是说它是一个具体的数值；
矩阵(主)子式与顺序主子式：主子式/子式就是上面说的，取的行和列是没有规律、随便取的；顺序主子式：必须是从左上角往右下角取这样变化：

图1：各阶顺序主子式

矩阵A(任意形状)的秩：矩阵A的最高阶非0子式所对应的阶数r，就是矩阵A的秩。秩可记做： $R(A)$ ；范围是： $0≤R(A)≤min\{m,n\}$ ；
秩的深刻意义：
- 矩阵A(任意形状)的初等变换、转置不会改变矩阵的秩；
- 矩阵A做初等变换后得到的行阶梯矩阵，矩阵A的秩 = 行阶梯矩阵非0行的行数！一般就是用行阶梯来求秩的；
秩在n元解线性方程组中的意义：不论正方形还是长方形方程组 $Ax=b$ ，都可以用"秩"来判断方程解的情况：

$Ax=b →\begin{cases} 无解 & R(A) < R(A,b) \\ 唯一解 & R(A) = R(A,b) = n \\ 无穷解 & R(A) = R(A,b) < n \end{cases}$

注意一点：长方形矩阵因为"方程个数"和"未知数个数"不相同，所以会导致上面3种解的情况出现。

矩阵可逆判断(充要条件3)：可逆矩阵的秩 = 阶数，即为"满秩矩阵"；

（3）特殊矩阵类：都是方阵

正交矩阵(n阶方阵)：如果n阶方阵A满足下面式子，则称方阵A为正交矩阵：

$A^TA = E \quad (A^{-1} = A^T)$

正交矩阵的2条性质：
- 若A为正交阵，则 $A^{-1}$ 和 $A^{T}$ 都是正交矩阵(其实两者相等)！并且正交矩阵的行列式为1，即 $|A| = ±1$ ；
- 两个正交阵相乘，还是正交阵；
方阵特征值：设A为n阶方阵，如果数 $\lambda$ 和n行非0列向量x满足如下关系式，则称数 $\lambda$ 为矩阵A的一个"特征值(可以是复数结果)"，此时的列向量x称为A对应特征值 $\lambda$ 的"特征向量"：

$Ax = \lambda x \quad \leftrightharpoons \quad \color{red}{(A-\lambda E)x = 0}$

要想求解"特征值"，就是求： $|A-\lambda E| = 0$ 这个1元n次方程；

方阵特征值的3条性质：
- 所有特征值之和 = 矩阵A对角元素之和；
- 所有特征值乘积 = 矩阵A行列式的值；
- 若 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，则 $\lambda^k$ 是 $A^k$ 特征值， $\frac{1}{\lambda}$ 是 $A^{-1}$ 特征值；
矩阵可逆判断(充要条件4)：n个特征值全 ≠ 0；
相似矩阵(2个n阶方阵)：设 $A$ 、 $B$ 都是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使得 $A$ 和 $B$ 满足如下关系，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 相似！可逆 $P$ 称为把 $A$ 变成 $B$ 的"相似变换矩阵"：

$P^{-1}AP = B$

相似矩阵的2条性质：
- 若 $A$ 与 $B$ 相似，则二者特征值相同；
- 矩阵 $A$ 的n个特征值做对角元素的对角阵 $D$ ，若想满足 $P^{-1}AP = D$ ，即矩阵 $A$ 可以对角化(与对角阵近似)，必须满足：矩阵 $A$ 的n个特征值互不相同；
实对称矩阵性质：
- 一定可以对角化，对角阵元素为n个互不相等的特征值；
- $A$ 为n阶方阵，则下面3个都是对称阵：

$A + A^T \quad AA^T \quad \color{red}{A^TA}$

正定阵：特征值全为正的对称阵；或：各阶"顺序主子式"都>0的对称阵；
$\color{red}{正定矩阵一定是对称阵！对称正定阵 = 正定阵；}$
正定矩阵3条性质：
- (对称)正定阵特征值都是正数；
- (对称)正定阵主元都是正数；
- $\color{red}{(对称)正定阵主对角元素都 > 0}$ ；

（4）矩阵杂项类：

对角阵、上三角阵、下三角阵，行列式值都是对角元素乘积；
严格对角占优矩阵：每一行中对角元素的值的模 > 其余元素值的模之和！即：

$|a_{ij}| > \sum_{j=1,j≠i}^{n}|a_{ij}| \quad (i = 1,2,3,\cdots,n)$

弱对角占优矩阵：上面公式取 $≥$ 号；
严格对角占优矩阵的4条性质：
- 若系数矩阵A是严格对角占优矩阵，则关于它的线性代数方程组有解；
- 若系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则A为非奇异矩阵；
- 若系数矩阵A为严格对角占优矩阵，各阶顺序主子式必不为0；
- 若系数矩阵A为严格对角占优矩阵，雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和0<ω≤1的超松弛迭代法均收敛。
共轭/Hermite矩阵：如果 $A(i,j) = A(j,i)$ ，则称矩阵为"对称矩阵"；如果 $A(i,j) = conj( A(j,i) )$ ，则称矩阵为"共轭/Hermite矩阵"。可以看出两者其实差别不大：实数域对称矩阵与共轭矩阵是一回事。

$Rank(A,b) = 4 > Rank(A) = 3$

$E = \frac{1}{2}\parallel d_0 - d_1 \parallel ^ 2$

$E(v) = \sum_{x_s}$

$\begin{cases} E(v) = \sum_{x_s} \sum_{x_r} \sum_{t}[u_{cal}(t,x,x_s;v) - u_{obs}(t,x_r,x_s)] & \\ \end{cases}$

$x_s \quad x_r$

最后编辑于：2019.04.16 11:25:55

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