有意思，似乎又过了两年，看法自然又需要更新。
首先还是那篇文章的内容
文章谈论了许多东西，以集合论作为数学基础，谈论数学两大分支，分析与代数。
分析按照古典微积分，实分析，点集拓扑，微分几何的顺序，并穿插了基于测度论的现代概率论。
代数则是从抽象代数，进行到线性代数，并且谈论线性代数上的泛函分析，进而是巴拿赫代数，调和分析，李代数。
最后收尾于李代数。
现在，可以说上面的那些书都看过了，甚至说理解了很多东西。
不过，更进一步，发现数学的领域实在太广阔了，而且学习难度似乎越来越大。
再过一遍。
集合论，基础内容就是各种常见构造，使用集合范畴可以获得更系统的认识，深入的部分则涉及哲学，尤其是层累结构，无穷序数，不可达基数，揭示了逻辑描述的极限。
微积分，可以说是最实用的，不过太基本反而不知道说什么，一种逼近的思想，极限也好，微分也好，积分也好，级数也罢，都反映了这种逼近。一个主体部分，一个随参数变化可忽略的部分。
实分析，好像是讲测度的，勒贝格测度，测度必然伴随积分，也就是加权求和，所有的测度都是给对象赋予一个值，可以说是泛函，对这些对象的运算，就伴随着对这些值的处理。
点集拓朴，好像是各种拓扑空间，这个实在是太基本了，分析上使用的空间都是特殊的拓扑空间，有一个图很好的反映了这种特殊关系。
感觉还是挺形象的，说明了拓扑结构的基础地位。所以，抽象性自然是非比寻常。不过，一般也用不上，就是借用点术语，开集，闭集，连续函数，极限，豪斯多夫空间，连通集，积拓扑。初等的层面用的不多，当然，这里面也有很多很困难的问题，比如直积与直和，推广到无穷个时的不等价。
微分几何，这个真的很难说，要难可以很难，要简单也很简单。其实就是微积分的推广，在性质不那么好的空间上定义积分，导数，计算长度，面积，体积。但是，流形本身是拓扑群，这就涉及了李群，李群自然诱导出李代数，这就是空间对称性的东西，与物理联系非常紧密。对于初学者而言过于抽象，最好不要独自尝试。流形本身又可以视为高维空间中的子流形，这就和微分方程联系起来了，方程作为约束，定义出子流形，这个东西也非常抽象。然后就是流形上的同调结构，也就是微分形式，作为切矢量的对偶，就像同调和上同调一样，这也很抽象。
所以流形本身早已是各种理论的试验场，就像实向量空间一样。
现代概率论，完全的测度论的应用，但是绝不意味着简单，相反，非常抽象，这就是抽象理论强行和实际联系的副作用，仅仅计算的话，自然问题不大，但是去解释这种计算变得极为困难。
抽象代数，就是群环域的一些基本结果，直积，商，同态，同构，同构定理，理想，模，多项式环，域，域的扩张，伽罗华理论，对称群，对称多项式。当然，也可以添一些料，有限群论，群表示，环的代数，就会难上很多。
线性代数，基本的就是向量，矩阵，相似，正交，合同，典范型，双线性函数。也有所谓的高等线性代数，感觉很不对劲，张量积，张量代数，环上的线性代数，模论，同调，范畴，只能说现在还看不明白。近些年，人工智能的浪潮又使得线性代数火起来了。
泛函分析，关于函数的函数，包含很多的函数空间，接受起来就比较困难，需要很长的一段时间，对函数求极限，对函数集积分，对泛函求导数，其实，把函数当作曲线的话，会好理解一些，就像变分法中的驻定曲线，这种推广其实挺自然的，都是从一堆东西中找出最需要的那一个，不管这个东西是一堆数，函数，曲线，还是什么数学结构。偏微分方程理论，就可以视为从给定的函数集中找出解函数，所以和泛函分析联系也很密切。
巴拿赫代数，也就是算子代数，和量子力学的出现有关，各种物理量算符就是各种函数空间算子，希尔伯特空间。
调和分析，这个就是拉普拉斯方程的解函数，感觉挺复杂的，扫了一遍就不想看了，球谐函数，谐函数，应该都和这个有关，毕竟拉普拉斯方程就是波的方程。
李代数，和李群有关，目前没打算看，先了解点同调代数。
体系，这个词感觉不太合适，毕竟现在的趋势是融合，体系感觉上就是孤立的一块一块。范畴论描述差不多习惯了，只能说效果非凡，除了数论那种来自虚空的东西，一般的数学理论都可以被整理清晰，这其中范畴的作用并不大，并不是过去想象的那种，可以定义出很多性质良好的范畴，然后就能把一般范畴论的结果迁移过来。关键还是在于映射间的联系，复合，分解，函子，自然变换，范畴不过是一种人为的对特定对象的选择。关系就是一切，对象只是关系的附属。关系和关系间的关系才是关键。这也说明了现代数学在向着高阶关系的方向走去，实在的物不再是重点了。
数学学习方面，范畴论的扩散是必然的，可能还会加速，所以早点接触最好，然后，范畴论的学习方式应该不是专门的理论，而是直接接触各种基本构造和各种基本映射。最关键的还是交换图。
就像集合论一样，一般没有人回去专门学习这个理论，都是直接拿来用的。
结尾，学数学是为了应用吗？
其实，数学学到这样的程度，如果只是为了应用，确实是基本无用武之地，有也是离日常过于遥远了。但是，会发现世界不一样了，许多问题获得了解答，许多领域变成了互通的，似乎真的存在一种统一的道，而且可以被定义出来。不可思议，复杂的树，变得不再复杂，复杂的曲面，可以被分类，复杂的组织系统，井井有条。从知识中走出来，看一看真实的世界，发现那种莫名的美感。不是为了炫耀，为了谋取名声，只是觉得挺奇妙的。问题解答与否，理论进步与否，其实并不重要，人们真正想要的并不是这些东西，都只是手段罢了，自然也无法从中获取满足。
数学本身很可能会导致人认识的偏激，而且自己发现不了，可以看一看灵修的书，发觉这种偏激，调整一下，仅使用逻辑去认识世界是有很大问题的。
