一、分治法

分治算法的主要思想是将原问题递归地分成若干个子问题,直到子问题满足边界条件,停止递归。将子问题逐个击破(一般是同种方法),将已经解决的子问题合并,最后,算法会层层合并得到原问题的答案。

主要步骤:

  • 分:递归地将问题分解为各个的子问题(性质相同的、相互独立的子问题);
  • 治:将这些规模更小的子问题逐个击破;
  • 合:将已解决的子问题逐层合并,最终得出原问题的解;

分治法适用的情况

  • 原问题的计算复杂度随着问题的规模的增加而增加。
  • 原问题能够被分解成更小的子问题。
  • 子问题的结构和性质与原问题一样,并且相互独立,子问题之间不包含公共的子子问题。
  • 原问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。

注意

使用分治算法其中一个要求是,子问题合并的代价不能太大,否则就起不了降低时间复杂度的效果了。

例如:

  • 求最大子序和问题
  • 求多数元素问题
  • pow(x, n) 求x的n次方问题
  • 求有序对(逆序对)个数问题

如果用传统的遍历法,时间复杂度过大,若使用分治法,则时间复杂度大大降低。

伪代码

def divide_conquer(problem, paraml, param2,...):
    # 不断切分的终止条件
    if problem is None:
        print_result
        return
    # 准备数据
    data=prepare_data(problem)
    # 将大问题拆分为小问题
    subproblems=split_problem(problem, data)
    # 处理小问题,得到子结果
    subresult1=self.divide_conquer(subproblems[0],p1,..…)
    subresult2=self.divide_conquer(subproblems[1],p1,...)
    subresult3=self.divide_conquer(subproblems[2],p1,.…)
    # 对子结果进行合并 得到最终结果
    result=process_result(subresult1, subresult2, subresult3,...)
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