专题：幂零矩阵

性质

7.A是幂零指数为 $k$ 的 $n$ 阶幂零矩阵，则 $A$ 不可逆，但是 $a E-A(a \neq 0)$ 可逆，且 $(a E-A)^{-1}=\frac{1}{a} E+\frac{1}{a^{2}} A+\cdots+\frac{1}{a^{k-1}} A^{k-2}+\frac{1}{a^{k}} A^{k-1}$
16.设 $A$ 是幂零指数为 $l$ 的 $n$ 阶幂零矩阵，则 $A$ 相似于每个 $Jordan$ 块主对角元都是 $0$ 的 $Jor-dan$ 形矩阵，且每个 $Jordan$ 块的阶数不超过 $l$ ， $Jordan$ 块的总数为 $n-r（A）$ ， $t$ 阶 $Jordan$ 块个数 $N(t)=r\left(A^{t+1}\right)+r\left(A^{t-1}\right)-2 r\left(A^{t}\right)$

例题

例4.11已知 $n$ 阶复矩阵 $A，B，C=AB-BA$ ，若 $AC=CA$ ，则 $C$ 是幂零矩阵
例4.13设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $2$ 阶矩阵构成的线性空间，对于 $V$ 的一个固定矩阵 $A$ ，定义 $V$ 的线性变换： $\sigma_{A}(B)=A B-B A, \forall B \in V$ 证明：（1）若 $A=\left( \begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {0} & {0}\end{array}\right)$ ，则 $\sigma_{A}$ 的特征值都为 $0$ .
（2）若 $A$ 的特征值都为 $0$ ，则 $\sigma_{A}$ 的特征值都为 $0$ .
例4.14（华南理工大学2012）设 $V=C^{n \times n}$ 表示复数域 $C$ 上的 $n$ 阶方阵关于矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法构成的线性空间， $A \in C^{n \times n}$ ，定义 $V$ 上的变换如下： $\sigma(X)=A X-X A, \forall X \in C^{n \times n}$
证明：
（1） $\sigma$ 是 $V$ 的线性变换；
（2） $\sigma（XY）=X\sigma（Y）+\sigma（X）Y$ ；
（3） $0$ 是 $\sigma$ 的一个特征值；
（4）若 $A^k=0$ ，则 $\sigma^{2k}=0$ .
例4.15（西南大学2010）（10分）设X，Bo为n阶实矩阵，按归纳法定义矩阵序列 $B_{i}=B_{i-1} X-X B_{i-1}, i=1,2,3, \cdots$
证明：如果 $B_{n^{2}}=X$ ，那么 $X=0$
例4.19设 $A \in r^{n \times n}, A^{k}=0$ 。证明： $E+A$ 与 $E+A+\frac{A^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{A^{k-1}}{(k-1) !}$ 相似