非动态面板门槛模型（Hansen，1999）

本文为经典文献阅读系列。我会把一些经典 paper 的数学部分非常详细地推一遍，对于需要引用其他文章才能证明的坑，会在文末给出寻找的索引。

对于文本，非引用的地方一般是作者在 paper 中给出的公式，

而在引用框里的公式则是我本人推导

还有一些自己的想法

希望大家批评指正！

$\S \quad \text{A Econometrics Lecture Note} \quad \S$

$\text{Threshold effects in non-dynamic panels: Estimation, testing, and inference}$

$\text{Bruce E. Hansen, JOURNAL OF Econometrics, 1999}$

对面板门槛模型：
$y_{i t}=\left\{\begin{array}{ll} \mu_{i}+\beta_{1}^{\prime} x_{i t}+e_{i t}, & q_{i t} \leqslant \gamma \\ \mu_{i}+\beta_{2}^{\prime} x_{i t}+e_{i t}, & q_{i t}>\gamma \end{array}\right.$
也可以写成：
$y_{i t}=\mu_{i}+\beta_{1}^{\prime} x_{i t} I\left(q_{i t} \leqslant \gamma\right)+\beta_{2}^{\prime} x_{i t} I\left(q_{i t}>\gamma\right)+e_{i t}$
其实还可以写成：
$y_{i t}=\mu_{i}+\beta^{\prime} x_{i i}(\gamma)+e_{i t}$
其中：

$x_{i t}(\gamma)=\left(\begin{array}{l} x_{i t} I\left(q_{i t} \leqslant \gamma\right) \\ x_{i t} I\left(q_{i t}>\gamma\right) \end{array}\right)$
$\beta=(\beta_1^\prime, \beta_2^\prime)$

要使用面板门槛模型，最关键的地方在于两个检验：

门槛效应是否存在
门槛值是否可信

1 门槛效应是否存在

检验门槛效应是否显著的检验，即检验原假设：
$H_0:\beta_1=\beta_2，$
这个原假设可以使用 $F_1$ 统计量：
$F_1 = \frac{S_0-S_1\left(\hat\gamma\right)}{\hat\sigma^2}$
来检验，其中：

$S_0$ 是非门槛模型得到的 MSE
$S_1(\hat\gamma)$ 是在门槛值为 $\hat\gamma$ 处得到的MSE
$\hat\gamma = \arg\min_{\gamma} S_1(\gamma)$

$F_1$ 统计量并不服从任何标准的分布，==Hansen（1996）==证明了 Bootstrap 程序得到其一阶渐进分布，以此得到的 $p$ -value 也可以用于进行统计推断。

2 门槛值是否估计准确

在门槛效应显著的情形下，我们要进行的下一步检验是：
$H_0:\gamma=\gamma_0$
其中， $\gamma_0$ 是真实的门槛值。这个假设可以用 $LR_1(\gamma_0)$ 统计量检验：
$LR_1(\gamma_0) = \frac{S_1(\gamma_0)-S_1\left(\hat\gamma\right)}{\hat\sigma^2}$
本文证明了，在一定的假设条件下，如果原假设成立，那么：
$LR_1(\gamma)\stackrel{d}\longrightarrow\xi$
其中， $n\to\infty$ 时， $\xi$ 服从分布函数：
${\rm P}(\xi \leqslant x) = \left(1-\exp\left(-\frac{x}{2}\right)\right)^2$
于是反分布函数为：
$c(\alpha) = -2\ln(1-\sqrt{1-\alpha})$
所以可以设置各置信水平的上分位值，比如：10% 的置信水平对应的分位值为6.53；而 5% 的分位值是7.53；最后，1% 的分位值时 10.59。那么如果 $LR_1(\gamma)$ 的值超过了 $c(\alpha)$ ，那么我们就可以在 $\alpha$ 的置信水平上拒绝原假设 $H_0:\gamma=\gamma_0$ 。

所以最难的地方在于如何找到 $LR_1(\gamma)$ 的理论分布，下面的数学推导摘录自文章的 Appendix。

3 关于 $LR_1(\gamma)$ 的推导

3.1 定义和假设

$x_{i t}(\gamma)=\left(\begin{array}{l} x_{i t} I\left(q_{i t} \leqslant \gamma\right) \\ x_{i t} I\left(q_{i t}>\gamma\right) \end{array}\right)$
$\beta=(\beta_1^\prime, \beta_2^\prime)$

令 $\gamma_0$ 表示模型中 $\gamma$ 的真实取值。并定义：

$\theta = \beta_2-\beta_1$
$C=n^\alpha\theta = n^\alpha (\beta_2-\beta_1)$ ，其中 $\alpha\in(0,0.5)$
$f_t(\gamma)$ 表示门槛变量 $q_{it}$ 的密度函数
$z_{it}=C^\prime x_{it} = n^\alpha (\beta_2-\beta_1)^\prime x_{it}$ ，其中 $C^\prime$ 表示 $C$ 的转置
$D(\gamma)=\sum_{t=1}^T {\rm E}\left(z_{it}^2|q_{it}=\gamma\right)f_t(\gamma)$
$D=D(\gamma_0)$
$f_{k|t}(\gamma_1|\gamma_2)$ 表示给定 $q_{it}$ 下 $q_{ik}$ 的条件密度函数

假设：

对任意 $t$ ， $(q_{it},x_{it},e_{it})$ 都是 iid 的
对任意 $i$ ， $e_{it}$ 与 $\{(x_{ij},q_{ij})_{j=1}^T\}$ 是独立的，而且 ${\rm E}(e_{it})=0$
对 $j=1,\dots,k$ ， ${\rm P}\left(x_{i1}^j=x_{i2}^j=\cdots=x_{iT}^j\right)<1$ ，其中 $x_{it}^j$ 是 $x_{it}$ 的第 $j$ 个元素
${\rm E}|x_{it}|^4<\infty$ ，且 ${\rm E}|e_{it}|^4<\infty$
对固定的 $C<\infty$ 和 $\alpha\in(0,\frac{1}{2})$ ， $\theta=n^{-\alpha}C$
$D(\gamma)$ 在 $\gamma=\gamma_0$ 处连续
$D \in (0,\infty)$
对任意的 $k>t$ ， $f_{k|t}(\gamma_0|\gamma_0)<\infty$

其中，假设 1.-4. 是固定效应面板模型和严格外生变量的基本假设。假设 6. 排除了在回归变量的边际分布和回归函数中同时出现的阈值效应。假设 7. 排除了连续化门槛模型，并要求门槛变量 $q_{it}$ 在 $\gamma_0$ 处是连续且正的分布的。假设 8. 排除了对任意 $t$ ， $q_{it}=\gamma_0$ 的情况

最值得玩味的假设是 5.，它假设 $n\to\infty$ 时，
$\theta=\beta_2-\beta_1=n^{-\alpha}C\to0$
这个假设减少样本中与门槛值值有关的信息，从而减慢阈值估计的收敛速度。由于可以将 $\theta$ 降至零的速率设置得很低（通过参数 $\alpha$ 的调节），因此不必将此假设视为限制性很强。但是，这确实表明，相对于 $\theta$ 大的情况，当 $\theta$ 小时，渐近逼近更有可能提供良好的性质。

3.2 推导

让 $\Rightarrow$ 表示关于统一度量的弱收敛，记 $\lambda_n=n^{1-2\alpha}$ 。于是：

定理 A.1 在 $n\to\infty$ 下，对随机变量 $v\sim U(-\bar v,\bar v)$ ，有：
$S_1(\gamma_0)-S_1\left(\underbrace{\gamma_0+\frac{v}{\lambda_n}}_{=\lambda}\right) \Rightarrow q(v)$
其中：

$q(v) = -D_T|v| + 2\sqrt{\sigma^2D_T}W(v)$
$D_T = D\left(1-\frac{1}{T}\right)$
$W(v)$ 是一个在 $(-\infty,+\infty)$ 上的双边布朗运动（double-sided standard Brownian motion)

证明 A.1 令：
$\nabla z_{it}(\gamma)=z_{it}I(q_{it}\leqslant\gamma)-z_{it}I(q\leqslant \gamma_0)$
当 $\gamma=\gamma_0$ 时，门槛模型成立。对任何 $\gamma \ne \gamma_0$ ，回归模型可以被写成：
$\begin{split} y_{it} &= \mu_i +\beta_1^\prime x_{it} I(q_{it}\leqslant\gamma_0) + \beta_2^\prime x_{it} I(q_{it}>\gamma_0) + e_{it} \\ &= \mu_i +\beta_1^\prime x_{it} I(q_{it}\leqslant\gamma) + \beta_2^\prime x_{it} I(q_{it}>\gamma) \\ &\quad- \beta_1^\prime x_{it}\left[I(q_{it}\leqslant\gamma)-I(q_{it}\leqslant\gamma_0)\right]-\beta_2^\prime x_{it}[I(q_{it}>\gamma)-I(q_{it}>\gamma_0)] + e_{it} \\ &=\mu_{i}+\beta^{\prime} x_{i t}(\gamma)+\left(\beta_{2}-\beta_{1}\right)^{\prime} x_{i t}\left[I\left(q_{i t} \leqslant \gamma\right)-I\left(q_{i t} \leqslant \gamma_{0}\right)\right]+e_{i t}\\ &=\mu_{i}+\beta^{\prime} x_{i t}(\gamma)+n^{-\alpha} \nabla z_{i t}(\gamma)+e_{i t} \end{split} \tag{A.1}$

其中，这里用到了：
$\left[I\left(q_{i t} > \gamma\right)-I\left(q_{i t} >\gamma_{0}\right)\right] = -\left[I\left(q_{i t} \leqslant \gamma\right)-I\left(q_{i t} \leqslant \gamma_{0}\right)\right]$
这里证明一下，定义：

$A = \{x_1, x_2, \dots,x_n\}=\{x_i\}_{i=1}^n=I\left(q_{i t} > \gamma\right)$

$\bar A=\{x_1^\prime,x_2^\prime,\dots,x_n^\prime\}= \{x_i^\prime\}_{i=1}^n=I\left(q_{i t}\leqslant \gamma\right)$

$B = \{y_1, y_2, \dots,y_n\}=\{y_i\}_{i=1}^n=I\left(q_{i t} > \gamma_0\right)$

$\bar B=\{y_1^\prime,y_2^\prime,\dots,y_n^\prime\}= \{y_i^\prime\}_{i=1}^n =I\left(q_{i t} \leqslant \gamma_0\right)$

关键的部分是如何对 $x_i$ 和 $x_i^\prime$ 的关系进行建模。由于 $x_i,x_i^\prime,y_i,y_i^\prime=(0,1)$ ，那么可以用
$x_i^\prime + x_i = 1 \quad \Rightarrow \quad x_i^\prime = 1 - x_i$
来刻画其关系。这种关系对于 $y_i$ 和 $y_i^\prime$ 也成立，于是：
$\begin{split} I\left(q_{i t} > \gamma\right)-I\left(q_{i t} >\gamma_{0}\right)&=\{x_i\}_{i=1}^n-\{y_i\}_{i=1}^n \\ &=\{x_i-y_i\}_{i=1}^n \\ &=\{(1-x_i^\prime)-(1-y^\prime_i)\}_{i=1}^n \\ &=\{y_i^\prime-x_i^\prime\}_{i=1}^n \\ &= I\left(q_{i t} \leqslant \gamma_0\right)-I\left(q_{i t} \leqslant \gamma\right)\\ &= -\left[I\left(q_{i t} \leqslant \gamma\right)-I\left(q_{i t} \leqslant \gamma_{0}\right)\right] \end{split}$
证毕。

公式 $(A.1)$ 给出了当 $\gamma \ne \gamma_0$ 时回归的精确误差（比正确的模型多了一个 $n^{-\alpha} \nabla z_{i t}(\gamma)$ 的误差修正项）。由于组内估计量的转换是线性的，所以对公式 $(A.1)$ 也同样适用，于是我们有：
$y_i^\star = \beta^\prime x_{it}^\star(\gamma) + n^{-\alpha}\nabla z_{it}^\star (\gamma) + e_{it}^\star$

这波很好操作，对公式 $(A.1)$ 在时间上求平均：
$\begin{split} \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T y_{it} &= \underbrace{\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T }_{\frac{1}{T}\cdot T}\mu_{i}+\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \beta^{\prime} x_{i t}(\gamma)+\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T n^{-\alpha} \nabla z_{i t}(\gamma)+\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T e_{i t} \\ \Rightarrow\quad\bar y_i&=\mu_{i}+\beta^{\prime} \bar x_{i}(\gamma)+ n^{-\alpha} \nabla \bar z_{i}(\gamma)+ \bar e_{i} \\ \end{split}$
然后把上式对公式 $(A.1)$ 做差，并记 $y^\star$ 等带星号的变量为离差形式，就有：
$y_i^\star = \beta^\prime x_{it}^\star(\gamma) + n^{-\alpha}\nabla z_{it}^\star (\gamma) + e_{it}^\star$
了。

此模型才是当 $\gamma \ne \gamma_0$ 时应该使用的回归方程。Hasen（1999）表示， $\hat \gamma$ 的渐进分布并不受 $\hat\beta$ 的影响，这个结论在这里也成立（这是因为，门槛的存在与系数是独立的）。于是对一个固定的 $\gamma$ 来说，回归残差是：
$\hat e_{it} (\gamma) =n^{-\alpha}\nabla z_{it}^\star (\gamma) + e_{it}^\star \tag{A.2}$

这是因为当 $\gamma \ne \gamma_0$ ，且 $\gamma$ 和 $\beta$ 毫无关系时，对一个固定的 $\gamma$ 而言，对 $\beta$ 的估计的残差可以写作
$\begin{split} y_i^\star &= \beta^\prime x_{it}^\star(\gamma) + n^{-\alpha}\nabla z_{it}^\star (\gamma) + e_{it}^\star \\ &= \beta^\prime x_{it}^\star(\gamma) + \hat e_{it} (\gamma) \end{split}$
也就是 $\gamma$ 不变下，对 $\beta$ 的估计的残差，可以被认为是公式 $(A.2)$ 后面的一个整体。再次强调，可以把 $n^{-\alpha} \nabla z_{i t}(\gamma)$ 看作误差修正项。

有了公式 $(A.2)$ ，我们于是可以计算，对两个给定不同门槛值 $\gamma$ 和 $\gamma_0$ ，模型的 MSE 之差为：
$\begin{split} S(\gamma_0)-S(\gamma)&=\sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^T \hat e_{it} (\gamma_0)^2 - \sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^T \hat e_{it} (\gamma)^2 \\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^T \left[n^{-\alpha} \underbrace{\nabla z_{it}^\star (\gamma_0)}_{=0} + e_{it}^\star \right]^2 - \sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^T \left[n^{-\alpha} \nabla z_{it}^\star (\gamma) + e_{it}^\star\right]^2 \\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^T \left(e_{it}^\star\right)^2 -\sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^T\left[n^{-2\alpha} \nabla z_{it}^\star (\gamma)^2+2n^{-\alpha}\nabla z_{it}^\star (\gamma)e_{it}^\star + \left(e_{it}^\star\right)^2\right] \\ &=-n^{-2\alpha} \sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^T\nabla z_{it}^\star (\gamma)^2 - 2n^{-\alpha} \sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^T \nabla z_{it}^\star (\gamma)e_{it}^\star \end{split} \tag{A.3}$
现在我们拥有了 $S(\gamma_0)-S(\gamma)$ 的表达式，后面的目标是找到它服从什么分布。

节点1： $S(\gamma_0)-S(\gamma)$ 的左边

现在我们证明，对于 $\gamma = \gamma_0 + \frac{v}{\lambda_n}$ ，当 $n\to\infty$ ，对 $v\sim U(-\bar v,\bar v)$ （" $v$ uniformly over $(-\bar v,\bar v)$ "），公式 $(A.3)$ 的左项有：
$n^{-2\alpha} \sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^T\nabla z_{it}^\star \left(\gamma_0+\frac{1}{\lambda_n}\right)^2 \Rightarrow D_T|v| \tag{A.4}$
我们会证明在 $v\in(0,\bar v)$ 的情况下，公式 $(A.4)$ 成立。==Hansen（1999）的定理 A.10==证明，它的充分条件是对于 $\gamma = \gamma_0 + \frac{v}{\lambda_n}$ ，公式 $(A.5)$ 成立：
${\rm E}\left[n^{-2\alpha} \sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^T\nabla z_{it}^\star \left(\gamma\right)^2\right] = \lambda_n \sum_{t=1}^T {\rm E}[\nabla z_{it}^\star(\gamma)]^2 \rightarrow D_T|v| \tag{A.5}$

证明：第一个等号：基于万物 iid 假设， $\nabla z_{it}^\star(\gamma)$ 之间关于 $i,t$ 也是 iid 的，于是：
$\begin{split} {\rm E}&\left[n^{-2\alpha} \sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^T\nabla z_{it}^\star \left(\gamma\right)^2\right] \\ &= n \cdot n^{-2\alpha} {\rm E}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( \sum_{t=1}^T\nabla z_{it}^\star \left(\gamma\right)^2 \right)\right] \\ &= \lambda_n {\rm E}\left[ \sum_{t=1}^T\nabla z_{it}^\star \left(\gamma\right)^2 \right] \\ 期望算子的线性性&= \sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla z_{i t}^{*}(\gamma)\right]^{2} \end{split}$
证毕。

做类似的证明经常用到几个技巧：

iid 的假设下，大数定律：
${\rm E}\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right]= {\rm E}[X_i]$

期望算子的线性性：
${\rm E}\left[\sum_{i=1}^n X_i \right] = {\rm E}[X_1+\cdots+X_n] = {\rm E}[X_1] + \cdots + {\rm E}[X_n] = \sum_{i=1}^n {\rm E}[X_i]$

无关下标的 $\sum$ 是可以化成系数的：
$\sum_{i=1}^T x_k = T\cdot x_k$

掌握这些技巧对做类似的推导和证明很有作用。

把公式 $(A.5)$ 的平方展开，有：

$\sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla z_{i t}^{*}(\gamma)\right]^{2}=\sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma)\right]^{2}-\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \sum_{k=1}^{T} \mathrm{E}\left(\nabla z_{i t}(\gamma) \nabla z_{i k}(\gamma)\right) \tag{A.6}$

证明 A.6：直接把离差形式变成原来的形式：
$\begin{split} \begin{array}{l} \sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla z_{i t}^{\star}(\gamma)\right]^{2}=\sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma)-\nabla \bar{z}_{i k}(\gamma)\right]^{2} \\ =\sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma)^{2}-2 \nabla z_{i t}(\gamma) \nabla \bar{z}_{i k}(\gamma)+\nabla \bar{z}_{i k}(\gamma)^{2}\right] \\ =\sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma)^{2}\right]-2 \sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma) \nabla \bar{z}_{i k}(\gamma)\right]+\sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla \bar{z}_{i k}(\gamma)^{2}\right] \\ =\sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma)^{2}\right]-2 \sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma) \cdot \frac{1}{T} \sum_{k=1}^{T} \nabla z_{i k}(\gamma)\right]+\sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\left(\frac{1}{T} \sum_{k=1}^{T} \nabla z_{i k}(\gamma)\right)^{2}\right] \\ =\sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma)^{2}\right]-\frac{2}{T} \sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma) \cdot \sum_{k=1}^{T} \nabla z_{i k}(\gamma)\right]+\frac{1}{T^{2}} \sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left[\left(\sum_{k=1}^{T} \nabla z_{i k}(\gamma)\right)^{2}\right] \end{array} \end{split}$

注意到第三项是的第一个 $\sum$ 是对 $t$ 求和，而期望的内部是对 $k$ 求和，于是第一个 $\sum$ 仅仅是简单的叠加，于是 $\sum_{t=1}^T(\cdot)=T \times (\cdot)$ 。用同样的道理，可以把第二项写成公式 $(A.6)$ 的形式，即：
$\begin{split} \sum_{t=1}^T {\rm E}\left[\nabla z_{it}^\star(\gamma)\right]^2 &=\sum_{t=1}^T{\rm E}[\nabla z_{i t}(\gamma)^2]-\frac{2}{T}\sum_{t=1}^T{\rm E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma)\cdot \sum_{k=1}^T \nabla z_{i k}(\gamma)\right] \\ &\quad\quad +\frac{1}{T^2}\cdot T \cdot {\rm E}\left[\left( \sum_{k=1}^T \nabla z_{i k}(\gamma)\right)^2\right]\\ &=\sum_{t=1}^T{\rm E}[\nabla z_{i t}(\gamma)^2]-\frac{2}{T}\sum_{t=1}^T\sum_{k=1}^T{\rm E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma)\cdot \nabla z_{i k}(\gamma)\right] \\ &\quad\quad+\frac{1}{T}{\rm E}\left[\left( \sum_{k=1}^T \nabla z_{i k}(\gamma)\right)^2\right]\\ \end{split}$
这就离公式 $(A.6)$ 很接近了，接下来我们要证明的是：
$\begin{split} \sum_{t=1}^T \sum_{k=1}^T{\rm E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma)\cdot \nabla z_{i k}(\gamma)\right] = {\rm E}\left[\left( \sum_{k=1}^T \nabla z_{i k}(\gamma)\right)^2\right] \end{split}$
这两个东西在本质上都是和的平方，见：
$\begin{split} \sum_{t=1}^T \sum_{k=1}^T{\rm E}\left[\nabla z_{i t}(\gamma)\cdot \nabla z_{i k}(\gamma)\right] &= {\rm E}\left[\sum_{t=1}^T \sum_{k=1}^T\nabla z_{i t}(\gamma)\cdot \nabla z_{i k}(\gamma)\right] \\ &= {\rm E}\left[\sum_{t=1}^T \nabla z_{i t}(\gamma)\cdot \sum_{k=1}^T \nabla z_{i k}(\gamma)\right] \\ &={\rm E}\left[\left(\sum_{t=1}^T \nabla z_{i t}(\gamma)\right)^2\right] \end{split}$
证毕。

从这里开始，我们转向概率分布

考虑公式 $(A.6)$ 的右边的第一项，注意到在 $n\to\infty$ 时， $\gamma = \gamma_0 + v/\lambda_n\to \gamma_0$ ，于是 $n\to\infty$ 时：
$\lambda_n{\rm P}(\gamma_0 \leqslant q_{it} \leqslant \gamma)=v\cdot\frac{{\rm P}(q_{it}\leqslant\gamma)-{\rm P}(q_{it}\leqslant\gamma_0)}{\gamma-\gamma_0} \to vf_t(\gamma_0)\tag{A.7}$

因为 $n\to\infty$ 时 $\gamma\to\gamma_0$ ，根据累计分布函数的定义，这实际上是导数的定义：
$\lim_{\gamma\to\gamma_0}\frac{F(\gamma)-F(\gamma_0)}{\gamma-\gamma_0}\to f_t(\gamma_0)$
即，求累计分布函数在 $\gamma_0$ 处的微分，也就是求密度函数。另外：
$\gamma = \gamma_0 + \frac{v}{\lambda_n} \Rightarrow \lambda_n=\frac{v}{\gamma-\gamma_0}$
而：
${\rm P}(\gamma_0\leqslant q_{it} \leqslant \gamma) = {\rm P}(q_{it} \leqslant \gamma) - {\rm P}(q_{it} \leqslant\gamma_0)$
两个式子一乘，就有上面的结果了。其数学意义是，在样本容量很大时， $q_{it}$ 落在 $[\gamma_0,\gamma]$ 之间的概率的 $\lambda_n$ 倍趋向于 $q_{it}$ 的概率密度函数在 $\gamma_0$ 处的 $v$ 倍。其中 $v$ 服从均匀分布。

其实我觉得，写成：
$\mathrm{P}\left(\gamma_{0} \leqslant q_{i t} \leqslant \gamma\right) \rightarrow \frac{v}{\lambda_{n}} \cdot f_{t}\left(\gamma_{0}\right)$
更直观，也就是 $q_{it}$ 落在 $[\gamma_0,\gamma]$ 之间的概率是 $q_{it}$ 的概率密度函数乘以一个系数。这个系数是一个均匀分布的 $v$ 和一个随样本容量 $n\to\infty$ 时趋向于无穷的量（ $\lambda_n$ ）的商。

在 $n\to\infty$ 时， ${\rm P}(\cdot)$ 趋向于一个点，从而概率是 $0$ 。正好符合 pdf 的性质。

于是，最关键的一步来了：

$\begin{split} \lambda_n \sum_{t=1}^T{\rm E}[\nabla z_{it}(\gamma)]^2 &= \lambda_n \sum_{t=1}^T {\rm E}[z_{it}^2I(\gamma_0 < q_{it}\leqslant\gamma)]\\ 使用迭代期望定律&= \sum_{t=1}^T {\rm E}[z_{it}^2|\gamma_0 < q_{it} < \gamma]\underbrace{\lambda_n {\rm P}(\gamma_0 < q_{it}\leqslant\gamma)}_{=vf_t(\gamma_0)+o(1)} \\ &\to \sum_{t=1}^T v{\rm E}[z_{it}^2|q_{it}=\gamma_0]f_t(\gamma_0)\\ &=vD \end{split}\tag{A.8}$

这一步最巧妙的地方在于，把 $z_{it}^2$ 与一个示性函数的积的期望表示为该示性函数发生的条件下 $z_{it}^2$ 条件期望，从而实现从期望到密度函数的转化。

之所以要转而证明 $(A.5)$ 成立，是因为 $(A.4)$ 不能分离 $z_{it}^2$ 和 $I(\cdot)$ ，而前者的期望算子具备这样的良好的数学性质。

接下来考虑公式 $(A.6)$ 的第二项。对于 $k>t$ ，
$\begin{split} {\rm P}(\gamma_0& < q_{ik} \leqslant \gamma | \gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma)\\ &= v \lambda_n^{-1} \frac{\left[{\rm P}(q_{ik}\leqslant \gamma | \gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma)-{\rm P}(q_{ik}\leqslant\gamma_0|\gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma) \right]}{\gamma-\gamma_0} \\ &=v\lambda_n^{-1} \left(f_{k|t}(\gamma_0|\gamma_0\right) + o(1))\\ &\to 0 \end{split}$

当 $x\to a$ ，两个无穷小量 $\alpha(x)$ 、 $\beta(x)$ 之间有记号 $\alpha(x)=o[\beta(x)]$ ，如果 $x\to a$ 时，无穷小量 $\alpha(x)$ 是关于 $\beta(x)$ 的高阶无穷小，即 $x\to a$ 时，
$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \to 0$
特别地，当 $x\to a$ 时， $f(x)\to 0$ ，那么就记为：
$f(x)=o(1)$
对于记号 $O(\cdot)$ ，就是当 $x\to a$ 时， $\frac{f(x)}{g(x)}$ 保持有界，就记作：
$f(x) = O[g(x)]$
特别地，记号：
$f(x) = O(1)$
表示在 $x\to a$ 时， $f(x)$ 是有界的量。

第二个等号到第三个等号其实是在 $\gamma_0$ 附近用切线近似割线的值。于是，记 ${\rm P}(q_{ik} \leqslant \gamma | \gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma)$ 的 pdf 为 $F(\gamma|\gamma_0<q_{it}\leqslant\gamma)$ 。在 $\gamma=\gamma_0$ 处做 1 阶数展开，就有：
$\begin{split} {\rm P}(\gamma_0& < q_{ik} \leqslant \gamma | \gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma)\\ &= v \lambda_n^{-1} \frac{\left[{\rm P}(q_{ik}\leqslant \gamma | \gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma)-{\rm P}(q_{ik}\leqslant\gamma_0|\gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma) \right]}{\gamma-\gamma_0} \\ &=v\lambda_n^{-1} \frac{F(\gamma|\cdot)-F(\gamma_0|\cdot)}{\gamma-\gamma_0} \end{split}$
如果对上面的式子直接求 $n\to\infty$ 的极限，那么可以直接得到：
$\lim_{n\to\infty} v\lambda_n^{-1} f_{k|t}(\gamma_0|\gamma_0) =0$
因为 $v$ 有界， $\lambda_n^{-1}\to0$ ， $f_{k|t}(\gamma_0|\gamma_0)<\infty$ 。

作者可能是为了让我们看的更清楚（并没有），把求极限的两个部分拆开了，计算的是割线的近似：
$\frac{F(\gamma \mid \cdot)-F\left(\gamma_{0} \mid \cdot\right)}{\gamma-\gamma_{0}}=f_{k \mid t}\left(\gamma_{0} \mid \gamma_{0}\right)+o(1)$
之所以是 $o(1)$ ，是因为在 $\gamma\to\gamma_0$ 时，上式就是导数的定义，没有误差。

结合 $(A.7)$ ，对于 $k>t$ ，

$\begin{array}{l} \lambda_{n} \mathrm{P}\left(\gamma_{0}<q_{i t} \leqslant \gamma, \gamma_{0}<q_{i k} \leqslant \gamma\right) \\ \quad=\lambda_{n} \mathrm{P}\left(\gamma_{0}<q_{i t} \leqslant \gamma \mid \gamma_{0}<q_{i k} \leqslant \gamma\right) \cdot \mathrm{P}\left(\gamma_{0}<q_{i k} \leqslant \gamma\right) \\ \quad \rightarrow 0 \end{array} \tag{A.9}$

证明：
$\begin{split} \lambda_n{\rm P}&(\gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma, \gamma_0 < q_{ik} \leqslant \gamma) \\ &= \lambda_n{\rm P}(\gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma| \gamma_0 < q_{ik} \leqslant \gamma) \cdot {\rm P}(\gamma_0 < q_{ik} \leqslant \gamma) \\ &= \underbrace{\lambda_n {\rm P}(\gamma_0 < q_{ik} \leqslant \gamma)}_{(A.7)}{\rm P}(\gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma| \gamma_0 < q_{ik} \leqslant \gamma) \\ &\to vf_t(\gamma_0) \cdot 0 \to 0 \end{split}$
证毕。

公式 $(A.9)$ 对 $k < t$ 的情形也适用（对称的）。于是：

$\begin{split} \lambda_n\frac{1}{T} &\sum_{t=1}^{T} \sum_{k=1}^{T} \mathrm{E}\left(\nabla z_{i t}(\gamma) \nabla z_{i k}(\gamma)\right) \\ &= \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \sum_{k=1}^{T} \lambda_n {\rm E}\left[z_{it}z_{ik} I(\gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma) I(\gamma_0 < q_{ik} \leqslant \gamma)\right] \\ &= \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \sum_{k=1}^{T} {\rm E}\left[z_{it}^2| \gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma,\gamma_0 < q_{ik} \leqslant \gamma\right]\\ &\quad \quad \cdot \lambda_n{\rm P}(\gamma_0 < q_{it} \leqslant \gamma,\gamma_0 < q_{ik} \leqslant \gamma)\\ &=\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} {\rm E}(z_{it}^2|\gamma_0 < q_{it}\leqslant\gamma)\lambda_n {\rm P}(\gamma_0 < q_{it}\leqslant\gamma) + o(1) \\ &\to \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T} {\rm E}(z_{it}^2|q_{it}=\gamma_0)vf_t(\gamma_0) = \frac{1}{T}vD \end{split} \tag{A.10}$

证明：倒数第二个等号
$\begin{split} &\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \sum_{k=1}^{T} \mathrm{E}\left[z_{i t}^{2} \mid \gamma_{0}<q_{i 1} \leqslant \gamma, \gamma_{0}<q_{i k} \leqslant \gamma\right]\lambda_{n} \cdot \mathrm{P}\left(\gamma_{0}<q_{i t} \leqslant \gamma, \gamma_{0}<q_{i k} \leqslant \gamma\right) \\ &= \frac{\lambda_{n}}{T}\sum_{\text{all}} \times \\ &\quad\left[ \begin{matrix} {\rm E}[z_{i1}^2|\gamma_{0}<q_{i 1} \leqslant \gamma, \gamma_{0}<q_{i 1} \leqslant \gamma]\cdot{\rm P}(\cdot) & \cdots & {\rm E}[z_{i1}^2|\gamma_{0}<q_{i1} \leqslant \gamma, \gamma_{0}<q_{i T} \leqslant \gamma] \cdot{\rm P}(\cdot)\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\rm E}[z_{iT}^2|\gamma_{0}<q_{i T} \leqslant \gamma, \gamma_{0}<q_{i 1} \leqslant \gamma]\cdot{\rm P}(\cdot) & \cdots & {\rm E}[z_{iT}^2|\gamma_{0}<q_{1 T} \leqslant \gamma, \gamma_{0}<q_{i T} \leqslant \gamma]\cdot{\rm P}(\cdot) \end{matrix}\right] \\ &=\frac{\lambda_{n}}{T}\left(\sum_{t=k} + \sum_{t\ne k} \right)\\ &= \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T {\rm E}[z_{it}^2|\gamma_0<q_{it}\leqslant\gamma]\lambda_{n} \mathrm{P}\left(\gamma_{0}<q_{i t} \leqslant \gamma\right) \\ &\quad+ \frac{1}{T}\sum_{t\ne k} \lambda_{n}{\rm E}(z_{it}^2|\gamma_{0}<q_{i t} \leqslant \gamma, \gamma_{0}<q_{i k} \leqslant \gamma) {\rm P}(\gamma_{0}<q_{i t} \leqslant \gamma, \gamma_{0}<q_{i k} \leqslant \gamma) \end{split}$
于是，左项就是我们要获取的。现在我们需要证明，
$\frac{1}{T}\sum_{t\ne k} \lambda_{n}{\rm E}(z_{it}^2|\gamma_{0}<q_{i t} \leqslant \gamma, \gamma_{0}<q_{i k} \leqslant \gamma) {\rm P}(\gamma_{0}<q_{i t} \leqslant \gamma, \gamma_{0}<q_{i k} \leqslant \gamma) \to 0$
由于各部分大于等于 $0$ ，加起来为 $0$ ，于是改证：在 $n\to\infty$ 时， $\gamma\to\gamma_0$ ，使得
$\lambda_n{\rm P}(\gamma_{0}<q_{i t} \leqslant \gamma, \gamma_{0}<q_{i k} \leqslant \gamma) \to 0$
这就是 A.9 啊。

证毕。

于是把 $(A.8)$ 和 $(A.10)$ 代入 $(A.5)$ ，就有：
$(A.5)=vD-\frac{1}{T}vD = \left(1-\frac{1}{T}\right)vD=D_T|v|$

其中，我们证明了 $v>0$ 的情形，实际上对于 $v<0$ 也适用，所以用 $|v|$

于是我们找到公式 $(A.3)$ 的左边了。

节点2： $S(\gamma_0)-S(\gamma)$ 的右边

我们下面尝试证明公式 $(A.3)$ 的右边是：对于 $v\sim U[-\bar v, \bar v]$ ，
$n^{-\alpha} \sum_{i=1}^{n} \sum_{t=1}^{T} \nabla z_{i t}^{*}\left(\gamma_{0}+v / \lambda_{n}\right) e_{i t}^{*} \Rightarrow \sqrt{\sigma^{2} D_{T}} W(v) \tag{A.11}$
最小二乘的投影性质表明： $\sum_{t=1}^T \nabla z_{it}^\star(\gamma)e_{it}^\star = \sum_{t=1}^T \nabla z_{it}^\star (\gamma)e_{it}$ ，并且 $e_{it}$ 是 iid 的，于是：
$\begin{aligned} \mathrm{E}\left(n^{-\alpha} \sum_{i=1}^{n} \sum_{t=1}^{T} \nabla z_{i t}^{*}(\gamma) e_{i t}^{*}\right)^{2} &=\lambda_{n} \mathrm{E}\left(\sum_{t=1}^{T} \nabla z_{i t}^{*}(\gamma) e_{i t}\right)^{2} \\ &=\lambda_{n} \sum_{t=1}^{T} \mathrm{E}\left(\nabla z_{i t}^{*}(\gamma)\right)^{2} \sigma^{2} \\ & \rightarrow D_{T}|v| \sigma^{2} \end{aligned} \tag{A.12}$

证明：第一个等号：
$\begin{split} \sum_{t=1}^T \nabla z_{it}^\star(\gamma)e_{it}^\star &= \sum_{t=1}^T \nabla z_{it}^\star(\gamma)\left(e_{it}-\frac{1}{T}\sum_{k=1}^n e_{ik}\right) \\ &= \sum_{t=1}^T \nabla z_{it}^\star(\gamma)e_{it} - \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T \nabla z_{it}^\star(\gamma)\sum_{i=k}^n e_{ik} \end{split}$
后面我们证明第二项等于零：
$\begin{aligned} \sum_{t=1}^{T} \nabla z_{i t}^{\star}(\gamma) & \sum_{i=k}^{n} e_{i k}=\sum_{i=k}^{n} e_{i k} \sum_{t=1}^{T}\left(\nabla z_{i t}(\gamma)-\frac{1}{T} \sum_{j=1}^{n} z_{i j}(\gamma)\right) \\ &=\sum_{i=k}^{n} e_{i k} \sum_{t=1}^{T} \nabla z_{i t}(\gamma)-\sum_{i=k}^{n} e_{i k} \sum_{i=t}^{n} \frac{1}{T} \sum_{j=1}^{n} \nabla z_{i j}(\gamma) \\ &=\sum_{i=k}^{n} \sum_{t=1}^{T} e_{i k} \nabla z_{i t}(\gamma)-\sum_{i=k}^{n} \sum_{j=1}^{T} e_{i k} \nabla z_{i j}(\gamma)=0 \end{aligned}$
证毕。

证明：第二个等号
$\begin{aligned} \mathrm{E}\left(\sum_{t=1}^{T} \nabla z_{i t}^{*}(\gamma) e_{i t}\right)^{2}&= \left({\rm E}[\nabla z_{1t}^{*}(\gamma) e_{1 t}+\cdots+\nabla z_{n t}^{*}(\gamma) e_{n t}] \right)^2 \\ &= ({\rm E}[\nabla z_{1t}^{*}(\gamma) e_{1 t}] + \cdots +{\rm E}[\nabla z_{nt}^{*}(\gamma) e_{n t}])^2 \\ (z_{it}独立于x_{it}从而独立于z_{it})&= ({\rm E}[\nabla z_{1t}]{\rm E}[e_{1t}]+\cdots+{\rm E}[\nabla z_{nt}]{\rm E}[e_{nt}])^2 \\ (e_{it}是\text{iid}的,而且{\rm E}[e_{it}]=\sigma)&=\sum_{t=1}^{T} {\rm E}[ \nabla z_{i t}^{*}(\gamma) ]^2\sigma^2 \end{aligned}$
证毕。

第三个等号用了 $n\to\infty$ 时， $\gamma\to\gamma_0$ 。

这就确定了随机过程的有限维分布是双向布朗运动（double-sided Brownian motion）的。通过 Hasen（1999） 的定理 A.11，这里的公式 $(A.12)$ 和假设1足以推导出公式 $(A.11)$ 。于是公式 $(A.4)$ 和 $(A.11)$ 结合公式 $(A.3)$ 就可以得出定理 A.1了。

定理 1 的证明

由于 $\hat\gamma$ 是要最小化 $S(\gamma)$ ，于是 $LR_1$ 实际上满足：
$\begin{split} LR_1(\gamma_0) = \max_\gamma \left( \frac{S_1(\gamma_0)-S_1(\gamma)}{\hat\sigma^2} \right) = \max_v \left( \frac{S_1(\gamma_0)-S_1\left(\gamma_0+\frac{v}{\lambda_n}\right)}{\hat\sigma^2} \right) \end{split}\tag{A.13}$
==Hasen（1999）表明==，在假设 1 成立的条件下：
$\hat v \equiv \lambda_n \left(\hat\gamma-\gamma_0\right) =O_p(1) \tag{A.14}$

一个随机向量 $X_n$ 是 $O_p(1)$ 的，如果他是随机有界的；是 $o_p(1)$ 的，如果它按照概率收敛到0

本文不会重复证明公式 $(A.14)$ 。公式 $(A.14)$ 的随机有界性表明，对任何 $\eta>0$ ，总存在一个 $\bar v<\infty$ ，使得：
${\rm P}(|\hat v|\leqslant\bar v)\geqslant 1-\eta \tag{A.15}$

在这里，随机有界的定义是：对任何 $\varepsilon>0$ ，如果存在一个 $M<\infty$ ，使得：
${\rm Pr}(\| X_n \| \leqslant M \|Y_n\|) \geqslant 1-\varepsilon,\quad \forall n\in N$
那么就说：
$X_n = O_p(Y_n)$
特别地，如果随机序列 $Y_n$ 退化为常数序列 $\{1,\dots,1\}$ ，那么我们就记为 $O_p(1)$

令：
$\begin{split} \widetilde{LR} &= \max_{|v|\leqslant \bar v} \left(\frac{S_1(\gamma_0)-S_1(\gamma_0+v/\lambda_n)}{\hat \sigma^2}\right) \\ &\Rightarrow \sigma^{-2} \max_{|v|\leqslant \bar v} q(v) \end{split}$
这里的收敛符号使用了 $n\to\infty$ 时 $\hat\sigma\to\sigma$ 和刚刚证明的定理 A.1：

定理 A.1 在 $n\to\infty$ 下，对随机变量 $v\sim U(-\bar v,\bar v)$ ，有：
$S_1(\gamma_0)-S_1\left(\gamma_0+\frac{v}{\lambda_n}\right) \Rightarrow q(v)$
其中：

$q(v) = -D_T|v| + 2\sqrt{\sigma^2D_T}W(v)$

$D_T = D\left(1-\frac{1}{T}\right)$

$W(v)$ 是一个在 $(-\infty,+\infty)$ 上的双边布朗运动（double-sided standard Brownian motion)

公式 $(A.15)$ 表明，
${\rm P}(LR_1(\gamma_0)=\widetilde{LR}) \geqslant 1-\eta$
这个不等式表明：
$LR_1(\gamma_0) \Rightarrow \sigma^{-2}\max_{-\infty < v < \infty} q(v) = \xi$
其中，Hasen（1999）的定理 2证明了 $\xi$ 的分布函数为：
$P(\xi\leqslant x)= \left(1-\exp\left(-\frac{x}{2}\right)\right)^2$

坑

需要从《Sample splitting and threshold estimation》（Hasen，2000）获取的证明有：

定理 A.10： $(A.5)\Rightarrow(A.4)$
定理 A.11： $(A.12)+\text{Assumption 1} \Rightarrow (A.11)$
定理 2： $P(\xi\leqslant x)= \left(1-\exp\left(-\frac{x}{2}\right)\right)^2$
不知道是哪个定理： $(A.14):\quad\hat v \equiv \lambda_n \left(\hat\gamma-\gamma_0\right) =O_p(1)$