正交性证明

$要证明 m≠n，积分 \int_{0}^{\delta} A_ncos(\mu_n\frac{x}{\delta})\cdot cos(\mu_m\frac{x}{\delta})dx=0$
$换元简化一下 k_n=\frac{\mu_n}{\delta}, k_m=\frac{\mu_m}{\delta}\\ \int_{0}^{\delta} A_ncos(\mu_n\frac{x}{\delta})\cdot cos(\mu_m\frac{x}{\delta})dx=\int_{0}^{\delta} A_ncos(k_nx)cos(k_mx)dx$
An是待定常数，验证过程和他无关，可以提取到积分符号外面
根据三角函数积化和差公式 $cosAcosB=0.5[cos(A+B)+cos(A-B)]$
积分展开为
$\int_{0}^{\delta} cos(k_nx)cos(k_mx)dx=0.5\int_{0}^{\delta} [cos(k_n+k_m)x+cos(k_n-k_m)x]dx$
分别对两项分开积分
$\int_{0}^{\delta} cos(k_n+k_m)xdx=\frac{sin(k_n+k_m)x}{k_n+k_m}|_{0}^{\delta}=\frac{sin(k_n+k_m)\delta}{k_n+k_m}$
$\int_{0}^{\delta} cos(k_n-k_m)xdx=\frac{sin(k_n-k_m)x}{k_n+k_m}|_{0}^{\delta}=\frac{sin(k_n-k_m)\delta}{k_n-k_m}$
（注意m不等于n的时候，kn和km不等，分母不会为0）
带入合并得到
$\int_{0}^{\delta} cos(k_nx)cos(k_mx)dx=0.5[\frac{sin(k_n+k_m)\delta}{k_n+k_m}+\frac{sin(k_n-k_m)\delta}{k_n-k_m}]$

我们做了换元 $k_n=\frac{\mu_n}{\delta}, k_n\delta=\mu_n,k_m\delta=\mu_m换回去$

积分等于
$\int_{0}^{\delta} cos(k_nx)cos(k_mx)dx=0.5[\frac{sin(\mu_n+\mu_m)}{\frac{\mu_n+\mu_m}{\delta}}+\frac{sin(\mu_n-\mu_m)}{\frac{\mu_n-\mu_m}{\delta}}]=0.5\delta [\frac{sin(\mu_n+\mu_m)}{\mu_n+\mu_m}+\frac{sin(\mu_n-\mu_m)}{\mu_n-\mu_m}]$
实际上要证明的是
$\frac{sin(\mu_n+\mu_m)}{\mu_n+\mu_m}+\frac{sin(\mu_n-\mu_m)}{\mu_n-\mu_m}=0$
通分
$\frac{(\mu_n-\mu_m)sin(\mu_n+\mu_m)+(\mu_n+\mu_m)sin(\mu_n-\mu_m)}{\mu_n^2-\mu_m^2}=0$
特征根不等，分母不会为0，所以分子应当为0，现在转换成了证明
$(\mu_n-\mu_m)sin(\mu_n+\mu_m)+(\mu_n+\mu_m)sin(\mu_n-\mu_m)=0$
三角函数和差化积
$sin(\mu_n+\mu_m)=sin\mu_ncos\mu_m+cos\mu_nsin\mu_m$
$sin(\mu_n-\mu_m)=sin\mu_ncos\mu_m-cos\mu_nsin\mu_m$
和差化积公式带回要证明的式子
$(\mu_n-\mu_m)\cdot (sin\mu_ncos\mu_m+cos\mu_nsin\mu_m)+(\mu_n+\mu_m)\cdot(sin\mu_ncos\mu_m-cos\mu_nsin\mu_m)=0$

!提取 $sin\mu_ncos\mu_m的系数，和cos\mu_nsin\mu_m的系数简化$

$[(\mu_n-\mu_m)+(\mu_n+\mu_m)]sin\mu_ncos\mu_m+[(\mu_n-\mu_m)-(\mu_n+\mu_m)]cos\mu_nsin\mu_m=0$
继续简化
$2\mu_nsin\mu_ncos\mu_m-2\mu_mcos\mu_nsin\mu_m=0$
即是证明 $\mu_nsin\mu_ncos\mu_m==\mu_mcos\mu_nsin\mu_m$
再次变形 $\mu_n\cdot tan\mu_n=\mu_m\cdot tan\mu_m$
等于什么呢？ $\mu_n是 tan\mu_n=\frac{Bi}{\mu_n}的解！$
等式 $\mu_n\cdot tan\mu_n=\mu_m\cdot tan\mu_m=Bi！$

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