对多目标进化算法MOEA/D的一些理解

一个多目标优化问题通常表述如下：

maximize $F(x)=(f_1(x),...,f_m(x))^T$ $x\in \Omega$

F包含m个目标， $\Omega$ 是决策空间， $\left\{ F(x)|x\in \Omega \right\}$ 为可得到的目标函数集。通常情况下，m个目标互相矛盾，在决策空间 $\Omega$ 中不存在一点，使得多个目标同时取得最大值。因此，只能在各个目标间权衡，最佳权衡解的集合，被称之为Pareto最优。当决策空间其他点都不优于解x时，x是Pareto最优的。

因此，对Pareto最优前沿的求解可以分解为对m个标量子问题的求解，加权和、切比雪夫法、参考点法是三种分解问题的方法。

1.加权求和法

生成一组权重向量 $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_m)^T$ ，使得每个权重都不小于0，且满足 $\Sigma _{i=1}^m \lambda _i=1$ 。

问题转化为：

maximize $g^{ws}(x|\lambda )=\Sigma _{i=1}^m\lambda_if_i(x)$

2.切比雪夫法

首先介绍参考点（reference point） $z^*=(z_1^*,...,z_m^*)^T$ 的概念， $z_i^*=max \left\{ f_i(x)|x\in \Omega \right\}$ ，即参考点第i个分量，是决策空间内第i个目标的最大值。

因此，问题转化为：

minimize $g^{te}(x|\lambda,z^*)=max_{1<=i<=m}\left\{ \lambda _i|f_i(x)-z_i^* \right\}$

3.边界交叉法

minimize $g^{bip}(x|\lambda ,z^*)=d_1+\theta d_2$

L是经过参考点，方向为 $\lambda$ 的直线。令y为F(x)在直线L上的投影，则 $d_1$ 表示 $z^*$ 与y的距离， $d_2$ 表示F(x)与直线L的距离。

$d_1=\frac{||(z^*-F(x))^T\lambda ||}{||\lambda ||}$ , $d_2=||F(x)-(z^*-d_1\lambda )||$

对多目标进化算法MOEA/D的一些理解

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