四、 阿罗投票悖论和公平与效率
但是，遗憾的是，阿罗却以严格的数理逻辑推导出的投票悖论，以形式化的方式证明了无法以投票的方式决定人人都能接受的惟一社会福利函数。这使得社会福利函数派的公平设想归于毁灭。
然而，阿罗定理所说的投票悖论引发的更是一场深刻的理论危机。阿罗悖论从最深邃的意义上可以被理解成：个人私自利益与社会整体利益无论如何必然存在矛盾，不能在满足所有个人私有利益的前提下，逻辑地导出社会整体利益同时也被满足的结论。
阿罗悖论使得数千年来人们孜孜以求的理想境界——大同社会，能否可真正地实现成了空中楼阁；它也使得多年来的福利经济学的成果毁于一旦。因为，即使是对上述福利经济学的两个基本目标用投票的方式也不能获得一致的结果，又从何谈起福利经济的总体目标与实现途径呢？同时，我们还要进一步看到悖论揭示的深刻性。因为，从亚当·斯密开始的“看不见的手”论述，即整个西方经济学关于市场经济导致资源配置最优化的概念，是从个人利益被满足的同时，会自动地导向全社会资源配置的总体优化为前提的。设想，当将政治投票形式换成货币投票形式，则问题的严重性就凸显出来。因为，阿罗悖论已经从脱离具体内容，用公理化的形式，证明了上述的结论是绝对不可能的。这样一来，西方经济学的整个大厦基础都将被倾覆，市场经济的所有现成结论都被推翻。
推理很深奥，思想很深刻，挑战很严厉，事态很严重。然而问题究竟出在何处？
问题是，当理论家下意识地理解阿罗定理时，都把人们的政治投票选择行为等同于人们的货币投票选择行为。这也包括阿罗本人。他写道：“投票和市场的方法，是汇集许多不同的个人趣味来做出社会选择的方法。”“同样地，市场机制也不能产生一合理的社会选择。”“任一社会福利函数必定要么是强加的，要么就是独裁性的。”（［美］肯尼思·阿罗著.陈志武、崔之元译．社会选择与个人价值．成都：四川人民出版社,１９８７年版,第４页，第１１０页，第１１０页）
要理解阿罗定理所想要说明的事情范围和从这些事情范围所得到的结论，以及结论对于应用的局限性，即结论成立范围，则必须正本清源地从帕累托的最优状态说起。
一个经济社会总存在着它拥有的生产资源，比如土地、资本、劳动等等。拥有这些生产资源，如何进行要素的配置，以使得它们能够以帕累托描述的方法进行最有效率的生产呢？而对生产获得到的产品进行消费，又如何能够达到帕累托最有效率状态呢？
一般都用两人、两种产品、两种生产要素，以埃奇沃思箱形图来直观地说明问题。虽然，埃奇沃思箱形图仅能清晰地说明２×２×２情形的帕累托最优状态配置，但是，阿罗—德布鲁定理已经全面地证明任意位个人、任意种产品和任意类生产要素的帕累托最优状态配置。所以，定性地用埃奇沃思箱形图来说明问题，并不影响结论的准确性。
图０-１
图０-１是一个社会用它拥有两种生产要素，Ｌ数量的劳动和Ｋ数量的资本，生产两种产品ｘ和ｙ。Ｌ数量劳动和Ｋ数量资本形成了埃奇沃思箱形图的两条边长，表示生产要素的有限性。这时，可根据社会当时的技术水平，画出ｘ，ｙ两种产品的等产量曲线族。
图０-１中从原点Ｏｘ开始，向右上方度量生产ｘ产品所使用的两种生产要素数量，用横轴Ｌｘ和竖轴Ｋｘ的标度分别表示，可得到图中标明的Ｑx1，Ｑx2，Ｑx3，Ｑx4这些等产量曲线。而图０-１中从Ｏｙ向左下度量生产ｙ产品使用的两种生产要素数量，可用横轴Ｌｙ和竖轴Ｋｙ分别表示。类似地就有ｙ产量的等产量曲线。
很明显，当于图０-１的Ａ点处分配劳动和资本来生产ｘ，ｙ两种产品时，就不是帕累托最优状态。因为，把劳动资本的分割点A沿着ｘ或ｙ的某一条等产量曲线向右下方前进，都可在该种产品生产数量不减的同时，另一种产品生产数量获得增加。调整的过程一直可以进行到这条曲线与对偶某条曲线相切为止。比如图０-１中的Ｂ点和Ｃ点。
以Ｂ点和Ｃ点分割生产要素数量后，生产要素的使用效率就是最有效率的帕累托境界。因为当此时，当要再增加ｘ产品数量生产，就必然导致ｙ产品数量的减少，反之亦然。
类似Ｂ和Ｃ这样的ｘ，ｙ产品等产量线相切点的全体，在埃奇沃思箱形图内形成了一条新曲线，称之为生产契约曲线。它从左下角的Ｏｘ出发，一直延伸到右上角的Ｏｙ为止。沿着这条线上的移动，都是一种产品数量的增加，必然导致另一种产品数量的减少。所以，这条线上的生产要素配置方式都达到了帕累托最有效率配置。
图０-２
把沿着这条线上行进得到的ｘ产量和ｙ产量同时记录下来，转换到一个新的坐标系，即产品数量坐标系中，则可得到如许固定有限的Ｌ和Ｋ生产要素数量投入生产后，可达到的ｘ，ｙ最多产量的组合。由这些最多产量的组合聚集成的那条曲线，称之为生产可能性曲线。一般地，由于生产规模递减效应的存在，故此转换得到的生产可能性曲线是一条凹向原点的曲线(见图０-２所示)。另外两种可能的情况是：如果生产规模效应不变，生产可能性曲线是一条直线。而当生产规模效应是递增时，生产可能性曲线是一条凸向原点的曲线。
于是，我们知道，生产可能性曲线是生产极大化的表示。
某一种生产极大化状态，对应的就是图０-２中生产可能性曲线上的一点。如果我们在图０-２中取Ｄ点，则Ｄ点就代表甲乙两人获得共同产品的最大数量。那么，他俩怎样才能从Ｄ点所表示的ｘ、ｙ产品中获得最多的效用呢？可以根据他俩的无差异效用偏好曲线作出。
图０-２左下角的原点，是测量甲效用的原点，位于生产可能性曲线上的Ｄ点，即右上角的点，是测量乙的原点。两人分别具有的无差异偏好曲线是Ｉ甲1，Ｉ甲2和Ｉ甲3，Ｉ乙1，Ｉ乙2和Ｉ乙3。在图０-２中，甲的Ｉ甲1和乙的Ｉ乙2相交于Ｅ点。Ｅ点即表示ｘ，ｙ产品在两人中的一种分配方式。但是，Ｅ点并不是帕累托最优点，因为，沿着任一人的无差异曲线向右下方移动后，都会使得另一人的效用增加。只有当到达Ｇ点或者Ｆ点时，进一步的移动才会导致另一人的效用减少。
观察Ｇ点和Ｆ点处，两人的无差异偏好曲线正恰相切。当把两人无差异偏好曲线族的所有两两相切点都找出后，就得到于消费时表示帕累托最优状态的曲线——连接两人原点的交换契约曲线。
沿着交换契约线移动的同时，记录两人效用大小的变化。如把两人效用大小的变化转移到表示甲乙两人的效用坐标系中，就得到了两人的总效用变化曲线，见图０-３。由于不管是甲还是乙，边际效用总是递减，所以，总效用变化曲线也总是凹向原点。
图０-３
但是，图０-３显示着的仅仅是图０-２生产可能性曲线Ｄ点处标示的那种组合ｘ，ｙ产量，于甲乙两人间各种不同分配所形成两人总效用变化曲线。
于是，可知这条总效用变化曲线，是两人用既定的Ｌ和Ｋ生产要素，生产特定ｘ，ｙ产品组合时消费极大化的表示。
大家都知道，图０-２中显示的是整整一条生产可能性曲线，上面的每一点，都是两人极大化生产的可能点。而对应每一点的极大化ｘ、ｙ产品，都可以查找到于甲乙两人不同分配数量形成的总效用变化曲线。仿Ｄ点，我们就可作出无数条总效用变化曲线。
图０-４
而这些总效用变化曲线形成最外面的包络线，就是总效用的可能曲线，参见图０-４的最外面虚线。
这就是甲乙两人拥有一定数量生产要素、生产函数、效用函数的前提下，消去了ｘ，ｙ产品数量的种种可能变化后，即消去了中间变量，所能够获得帕累托最优状态的情形。这时，他俩具备着最高的生产效率，从而也获得了最大消费福利。他们在对自然的索取中，达到了无以复加的程度。
如果，一个外星文明生物乘坐飞碟来考察地球文明的生存情况，当他们透彻地了解了全体地球人所拥有的生产要素、生产函数、效用函数后，用他们无与伦比的超级计算机，通过长时间的繁琐计算，最终，他们也会得到如图０-４所画的那条表示极值的总效用可能曲线。可以猜想，他们得到这样结论时的惊异程度，不亚于我们得到蜜蜂六角形蜂巢的钝角都是１０９°２８′，锐角都是７０°３２′时一样。结论肯定是：地球人是无比聪明的人，地球文明是高度发达的文明。
但是，真实的地球人是如何达到无以复加的总效用可能曲线的呢？我们没有超级计算机，也不可能互相了解各自的生产函数，尤其不能了解各人的效用函数，我们通过什么途径，用什么方法达到的呢？
用的就是市场和价格制度！
我们把各自心目中的效用函数，外化成市场上产品价格和消费数量之间的关系；把互不了解的生产函数，外化成市场上生产要素价格和提供数量之间的关系，通过价格与产品之间逐高杀低的供给需求运动，使得消费时，产品的边际代替率相同，生产时，边际技术代替率相同，以及，连接生产与消费的产品代替率相同而达到。
这样，就使得非常大量且不那么可知的生产要素拥有量、极其复杂的生产函数、效用函数，大大地降维且分解成非常简单的价格高低和数量供求的关系，用此，人们只需要用最基本的加加减减，加上人们追求最大化的本能和行动，就可达到其大无外的最有效率境界。
回顾经济帕累托最优境界得到过程的描述，我们可明了，人们在市场中的货币投票行为，表面看起来是在决定着人与人之间的关系，但实际上决定了的却是人与自然之间的关系。这才是斯密所描述的，人们的本意并不是使得社会公益最大，是使得自己的私利最大，但是结果却能够达到社会公益最大，比之人们本意从公益出发所达到的公益还要大。“看不见的手”的作用，实质上调整的是人与自然的关系，而不仅仅是人与人之间的关系。而自然对人的约束关系，是通过人们货币投票方式的中介过程，在价格相等、供需相同时得以出现。这样，在经济运行中，货币投票选择的结果就绝不是任意的，从而也不是轻易可以改变的。
可以把上面所述的总效用可能曲线，理解成为飞机的最大续行飞行半径，任意一点都可以是着落的机场。然而，仅从上面得到的经济运行结果，却还是一个无约束的结果，或者是约束过少的结果，因为人们还无法从中获知一个确定的答案。
自然，人们要追问，经济运行目的地是否可以自然地决定呢？还是可依人们愿望加以自行挑选的呢？
对于这个设问的回答，引出了人们的公平观念以及用政治投票决定经济选择的行为思考。
如果依据市场经济的“自然”运行，经济也会有它的“自然”解。而经济体系的“自然”解，也是自然对人作用与约束的结果。因为，来源于生产函数，从而派生导出的一个个分配函数，可依据各种生产要素的边际生产率为分配砝码进行产品的分配。依此，由各人提供的生产要素数量，按生产要素在生产中的作用大小，即可进行最终产品的分配。
这样的解具有惟一性吗？
具有惟一性。因为，按分配函数，劳动、资本等等具有边际递减倾向的生产要素分配份额，由它们的边际生产率决定。而如技术进步、风险、垄断等引起的分配，是由生产出来的产品，除去上述的劳动、资本等要素分配后才决定的。在一个方程式组中，由以上各项决定的分配是不可变更的，具有惟一性。
而这里所指的分配，具有两个含义。一是，最终产品在人类的个体之间的现时分配；二是，最终产品在现时消费与将来消费之间的跨时分配。
但市场经济的“自然”运行解，带有一个最令人们伤透脑筋的副作用，即“马太”效应。“自然”运行解具有正反馈的过程和结局，它使得人与人之间相比，越来越不平均，产生富者愈富、贫者愈贫的两极分化结果。
人们对此进行了反思与质问。因为，自然提供给人的生产要素，应该看成是提供给人类的全体，而并非提供给人类的某些人或某部分人。从这点出发，任何人或部分人利用或者“霸占”自然提供的生产要素，在分配中占有不恰当的一份，都是不能令人满意和接受的。这就是福利经济学看到的问题，并且从中提炼出解决问题的方式：为什么不能通过另外一种方法，而不是用自然强加的“自然”性的边际生产率方式和分配份额，来进行产品的分配呢？
从这点出发，引出了用投票的方式来决定产品在人们之间的分配。
投票方式，从最根本上着眼，它是人类社会内部成员选择和决定人类社会内部事务的方式。而正是采用这种形式进行的选择和决策，却可忽略了人类生存的必要前提：即人类社会的整个存在，不仅仅决定于内部成员的主观意愿，还决定于人类社会生存于斯的自然界。当撇开人类生存于自然这一先决因素，仅就人类自己决定自己事务的方式而言，有的时候就如同中世纪经院哲学家空谈上帝花园中的玫瑰是否有刺的争论一样，从而，得不到一致的意见就完全不必奇怪了。
福利函数的投票决定，在某种意义上看，就是人们不考虑自然界的决定性因素，摆脱了自然通过生产函数和派生的分配函数对于人们的强制作用，它纯粹是人们之间的自我协商与协调，是对人类事务进行的内部决策。但是，这样的决策肯定也是无约束的决策，或者准确地说是自由度过多的决策，仁者见仁，智者见智，得不到惟一结果就不难理解。正像没有分配函数作用时的帕累托最优状态无法获得惟一解一样，人们看到了同样的问题出现在它的反面：在投票选择中，人们也无法获得公平分配的惟一解，即没有全体人们同时满意的公平解。
回过头，从经济学的分析脉络看货币选票的真实作用，它绝不是仅仅直接安排与解决了人与人之间的利益调节分配关系，它还间接地安排与解决了人从自然中如何获得利益的关系。所以，在有货币参入的自由市场制度下，个人利益被满足的同时，自动导向全社会总体优化的结果还是能够实现的。因为，由上面的阐述，已清晰准确地指出货币投票作用，并不仅仅解决人类社会内部的协调关系，更考虑了人与自然的互相作用和影响的机理。所以，货币投票绝不等同于政治投票选择。
阿罗投票悖论的出现，其最根本的深层原因就在于：没有充分的约束，即当自然约束缺位时，就无法就人类事务达成惟一解。
而当阿罗从投票悖论中逻辑地推出结果时，得出令人触目惊心的结论：社会的决定要么是外界强加的，要么是独裁作出的。
这里，他的话半对半错。说对的一半是，决定必定要由外界强加，即由人类以外的因素强加，反映了自然约束的复位。这印证了人类无法脱离生存于斯的自然，就像人无法抓住自己头发脱离地球一样。另一半话则绝对是错误的，即决定必须是独裁的，我们无法同意这样的结论。全体人的理性投票居然无法获得的结果，却可由独裁者一人决策得到。后一半话的滥用，将会造成极其严重的灾难性后果。
然而，当通过以上的推论明白了阿罗投票悖论的来源后，对于人们社会决策的决定机理，有进一步的深刻理解。因为，不管怎么说，社会决策毕竟是在社会内部作出的，虽然它仍体现了自然的约束，比如当应用货币选票时。但是，货币选票只是社会决策的一种方式，虽然它是一种极其重要的方式，社会决策还存在着不能用货币选票决定内容。而由阿罗定理，这些内容的决策，绝对无法排除独裁的方式。那么，独裁决定的方式与自然的外加约束两者又有什么关系呢？这在下一部分由交易费用引发的新制度经济学讨论中再加以分析。
有了对阿罗定理的这样理解，回过头来再分析公平与效率的相悖性，问题豁然开朗。
从古代臆想中的“大同”社会，延至近代观念的“乌托邦”社会，直到现代的实际性的社会主义社会，检验社会经济状况好坏标准，始终贯穿着的一条主线，就是“公平”。但是，“公平”这一尺度来自何处，在福利经济学通过效率转而对它进行认真研究之前，一直为人们所漠视。
实际上，在空想的共产主义中，“公平”尺度来源于人们的伦理思索。而在科学共产主义理论建立时，如上已述，由于《资本论》理论体系本身，仅着眼于社会成员内部的由生产资料占有不平等导致财富分配的不平等，所以，它导出的“公平”尺度，也是人类社会内部制定的尺度。对于这样的“公平”尺度，阿罗悖论总是存在的。换句话说，个人私自利益与社会整体利益的冲突不可避免，无法得到一个全体人们同时同意的“公平”尺度。
但与此同时，当人们在追求美好生活过程中，又总是发现仅仅用“公平”尺度来衡量远远不够，必须导入“效率”尺度与之互补。而“效率”尺度衡量的东西就不再完全是人类社会内部事务，它还必然牵涉到人对自然的索取关系。
“公平”尺度的对偶物——“效率”尺度，自帕累托始开始准确引入，为西方经济学者一直坚持并用之检验社会经济状况好坏的标准。然而，由福利经济学发展的研究结果来看，“效率”尺度决不能囊括全部，它的实施，还必须引入“公平”尺度与之互补。
这就是“效率”与“公平”的悖论。强调“效率”尺度时，就会引入“公平”尺度；反之，强调“公平”尺度时，又会引入“效率”尺度。坚持了其中任何一个，都会把另一个拖进来。两者似乎不能两全其美，但又必须两相兼顾。两者既无法分开，又无法综合，似乎是统一体中的矛盾对立面。
学术史实还表明，当用投票决定公平分配方式的同时，却又产生了巨大的弊病。由于生产过程同时就是再生产过程，人们还必须在现时的消费与将来的消费之间进行决策。已经发现，用人们内部协商或者投票等方式决定的分配，在改变了现时消费于人们之间分配的同时，也会改变生产要素的报酬比例，即“自然”机制决定的现时消费与将来消费之间的适当关系。因为，人类的生存环境，已不再是纯粹的自然，而是人造的自然。这种人造的自然，必须以人们不断地维护才能保持。这种保持与生产要素的回报有着直接的关系。而投票选择的结果肯定会改变生产要素的回报。而真正要命的是，这样的改变，总是使得下一回合的再生产偏离帕累托最优状态。这意味着在公平地切割已生产蛋糕的同时，却将使得再生产出来的蛋糕变小。
那么，是否可由经济体系运行内部，得出同时兼顾“效率”与“公平”尺度的结论呢？因为，我们已经看到，光考虑“效率”，无法得到经济运行的惟一解，光考虑“公平”，也无法得到经济运行惟一解，那么，综合考虑两者，是否存在着一个解，能够同时获得满足“效率”与“公平”尺度，即是：在效率最大的同时，达到公平最佳。
可以！因为我们已经看到，一旦加入自然界对人类社会存在的约束后，则由于新的约束进入，得到惟一性结果就有其存在的必然。但是，上述自然界对人类社会存在的约束，是以生产函数派生的分配函数作用出来。而本书将用负熵的方式，在时时刻刻保持自然的约束下，得到效率最大同时公平最佳的结论。
这使得当我们评价任何一个真实经济体系运行时，可以有一个“效率”与“公平”兼顾的坐标系，以便让人们判断、衡量实际经济运行偏离这两把理想尺度的尺寸偏差。
