施密特正交化

对于一组向量，有时候我们需要对其进行正交化处理，也就是说，该组向量中任意两个向量都是互相垂直的。那么，要怎么做呢？

假设只有两个向量， $\vec v_0$ 和 $\vec v_1$ ，正交化的几何示意图如下所示。

正交化1.png

假设正交化之后的向量为 $\vec w_0$ 和 $\vec w_1$ ，那么由图可知，可得 $\vec w_0 = \vec v_0$ ，且有：

$\vec w_1 = \vec v_1 - \dfrac{\vec v_1 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|}$

这里减去的部分是向量 $\vec v_1$ 在向量 $\vec w_0$ 上的投影。然后将 $\vec w_0$ 和 $\vec w_1$ 进行归一化，就得到了最终的结果。

那么，如果有三个向量， $\vec v_0$ ， $\vec v_1$ ， $\vec v_2$ ，这种情况要如何处理呢？同样地，正交化的几何示意图如下所示。

正交化2.png

假设正交化之后的向量为 $\vec w_0$ ， $\vec w_1$ ， $\vec w_2$ ，由图可知，可得 $\vec w_0 = \vec v_0$ ，且有：

$\vec w_1 = \vec v_1 - \dfrac{\vec v_1 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|}$

$\vec w_2 = \vec v_2 - \dfrac{\vec v_2 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|} - \dfrac{\vec v_2 \cdot \vec w_1}{|\vec w_1|}$

从图中可以看出向量 $\vec w_2$ 即为向量 $\vec v_2$ 减去在 $\vec w_0$ 和 $\vec w_1$ 上的投影。将这三个向量进行归一化即可得到最终的结果。

那么，假如我们有一组向量 $\{ \vec v_0, \vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \}$ ，要想求得它们正交化后的向量组 $\{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2, ..., \vec w_n \}$ ，步骤如下：

令 $\vec w_0 = \vec v_0$ ；
对 $1 \leq i \leq n$ ，计算 $\vec w_i = \vec v_i - \sum_{j = 0}^{i - 1} \dfrac{\vec v_i \cdot \vec w_j}{|\vec w_j |}$ ；
将得到的 $\{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2, ..., \vec w_n \}$ 进行正交化。