二项分布到泊松分布的证明

在某一固定时段t内，事件发生n次，即事件X的期望值\lambda=np已知。将该时段无限细分，每一个dt内都看做一个0-1事件，则在时段t内，其发生k次的概率为
\begin{aligned} N_k & = \lim_{n\to\infty}C_n^kp^k(1-p)^{n-k} \\ & = \lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\frac{\lambda^k}{n^k}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k} \\ & = \lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}\frac{\lambda^k}{k!}(1-\frac{\lambda}{n})^{-\lambda\frac{n}{-\lambda}}(1-\frac{\lambda}{n})^{-k} \\ & = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\ \end{aligned}

比如，一个医院一天出生8个婴儿，那一天出生k个婴儿的概率是多少？
首先，一天看做86400秒，即n=86400，每秒都是一个是否有婴儿出生的0-1事件，则8=86400*p，即每秒概率为p=\frac{8}{86400}，从而，通过C_n^kp^k(1-p)^{n-k}可得每天出生k个婴儿的概率；
其次，因为n足够大，可直接使用泊松分布，\lambda=8，通过\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}可得每天出生k个婴儿的概率。

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