平面曲线主单位法向量公式的证明

设平面参数曲线 $\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j}$ ，其中 $x, y$ 是参数 $t$ 的函数， $s$ 是弧长参数， $\vec{N}$ 是主单位法向量，证明 $\vec{N} = - \frac{dy}{ds} \vec{i} + \frac{dx}{ds} \vec{j}$ 。

证明：设 $\vec{v}$ 是速度向量， $\vec{T}$ 是单位切向量，则：

$\vec{v} = \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j}$ ， $|v| = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}$

$\vec{T} = \frac{\vec{v}}{|v|}$ ， $\vec{N} = \frac{ d\vec{T}/ds }{ |d\vec{T}/ds| } = \frac{ d\vec{T}/dt }{ |d\vec{T}/dt| }$

通过求导计算 $\frac{ d\vec{T} }{ dt }$ 可得：

$\frac{ d\vec{T} }{ dt } = ( (\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 )^{-\frac{3}{2} } ( \frac{dx}{dt} \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{d^2x}{dt^2} \frac{dy}{dt} ) ( -\frac{dy}{dt} \vec{i} + \frac{dx}{dt} \vec{j} )$

$| \frac{ d\vec{T} }{ dt } | = ( (\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 )^{-\frac{3}{2} } ( \frac{dx}{dt} \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{d^2x}{dt^2} \frac{dy}{dt} ) |v|$

由 $\frac{ d\vec{T} }{ dt }$ 的计算结果可得：

$\vec{N} = |v|^{-1} ( -\frac{dy}{dt} \vec{i} + \frac{dx}{dt} \vec{j} ) = ( -\frac{dy}{ds} \vec{i} + \frac{dx}{ds} \vec{j} )$

证明完毕。

平面曲线主单位法向量公式的证明

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