傅里叶变换之一

一、三角函数的正交性

一个三角函数系的组合：{        ...  ... ...}

其中 ； 为   ......

对于以上三角函数的集合中任意两个三角函数的乘积：当时在 到上积分等于0，当时在到上积分等于。

三角函数的正交性是进行傅里叶级数推导及傅里叶变换推导的理论基础。

二、周期为的函数可以展开为三角函数的加和。

或

以上两式等价。利用三角函数的正交性进行化简得到最终的傅里叶级数的展开式为：

三、周期为2L的函数展开

采用换元的方式，令 ,带进以上表达式得到傅里叶级数在上的展开式：

令,上式变成在周期上的积分，令得到：

四、傅里叶级数的复数形式

引入欧拉公式：

根据欧拉公式得到：

把欧拉公式带到周期为T的傅里叶函数展开式中，最后得到周期为T的傅里叶函数在负无穷到正无穷上的展开式为：

令T趋近于无穷大，则趋近于0,于是将上的离散的点转到上连续的点（一般形式）。得到：

令,就可以把傅里叶变换写成拉普拉斯变换，可以理解傅里叶变换是拉普拉斯变换的一种特殊形式，也遵循着拉普拉斯变换。