有理数的运算

预备知识

相反数

一个数的相反数只要在前面加上负号就好了

$a 的相反数是 -a$

$-3 的相反数是 3$

$3 的相反数是 -3$

绝对值

$| a | 为 a 的绝对值$

$| -3 | = 3$

$| 3 | = 3$

加减法关系

加上一个数, 就相当于减去这个数的相反数

$a + b = a - ( -b )$

减去一个数, 就相当于加上这个数的相反数

$a - b = a + ( -b )$

乘除法关系

除以一个数, 就相当于乘以这个数的倒数

$a \div b = a \times \frac{1}{b}$

运算顺序

先乘方, 再乘除, 后加减, 同级运算从左到右, 有括号先算括号里的。

加法

相同符号

符号不变, 两数绝对值相加

$( +3 ) + ( +5 ) = +( 3 + 5 ) = 8$

$( -3 ) + ( -5 ) = -( 3 + 5 ) = -8$

不同符号

取绝对值较大的符号, 较大的绝对值减去较小的绝对值

$( +3 ) + ( -5 ) = -( 5 - 3 ) = -2$

$( -3 ) + ( +5 ) = +( 5 - 3 ) = 2$

减法

相同符号

转换成加法, 按照加法法则运算

$( +3 ) - ( +5 ) = ( +3 ) + ( -5 ) = -2$

$( -3 ) - ( -5 ) = ( -3 ) + ( +5 ) = 2$

不同符号

同样转换成加法, 按照加法法则运算

$( +3 ) - ( -5 ) = ( +3 ) + ( +5 ) = 8$

$( -3 ) - ( +5 ) = ( -3 ) + ( -5 ) = -8$

乘法

相同符号

符号取正号, 两数绝对值相乘

$( +3 ) \times ( +5 ) = +( 3 \times 5 ) = 15$

$( -3 ) \times ( -5 ) = +( 3 \times 5 ) = 15$

不同符号

符号取负号, 两数绝对值相乘

$( +3 ) \times ( -5 ) = -( 5 \times 3 ) = -15$

$( -3 ) \times ( +5 ) = -( 5 \times 3 ) = -15$

除法

相同符号

转换成乘法, 按照乘法法则运算

$( +3 ) \times ( +5 ) = +( 3 \times 5 ) = 15$

$( -3 ) \times ( -5 ) = +( 3 \times 5 ) = 15$

不同符号

同样转换成乘法, 按照乘法法则运算

$( +3 ) \div ( -5 ) = ( +3 ) \times \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{3}{5}$

$( -3 ) \div ( +5 ) = ( -3 ) \times \left(\frac{1}{5}\right) = -\frac{3}{5}$

乘方

$a^n 即有 n 个 a 相乘$

正数

1的任何乘方都为1

任何数的0次方都为1

正数的任何次方都为正数

负数

任何数的0次方都为1

负数的奇数次乘方为负数, 偶数次乘方为正数

注意!

$(-a)^n 和 -a^n 是不一样的!$

$(-a)^n 是 n 个 -a 相乘$

$-a^n 是 n 个 a 相乘的相反数$