3.Government bonds

3.1 Equivalent Set-up

我们描述一种带有政府债券的交错交易序列，等价于上述的名义货币经济。我们应用一个带有政府赤字的模型，并展示它如何与带有政府债券或带有名义货币交易的模型等价。

考虑时代交错模型，每一时刻 $t$ 有新一代出生，时刻 $1$ 有最初一代。新出生的一代在时刻 $t$ 获得遗产 $(y_t^t,y_{t+1}^t)$ ，且有如前所述的效用函数；最初一代获得遗产 $M_0$ 单位的名义货币和 $y_1^0$ 单位的消费品；存在一系列政府购买 $\{g_t\}$

定义：

一个带有货币财政赤字的均衡，为序列 $\{M_t,p_t\}_{t=1}^\infty$ ，满足：

$M_t\in\arg\max_{M_t}[u(y_t^t-\frac{M_t}{p_t})+u(y_{t+1}^t+\frac{M_t}{p_{t+1}})]$

且有约束条件： $M_t-M_{t-1}=p_tg_t\quad(19)$

一阶条件为： $\frac{u^\prime(y_{t+1}^t+\frac{M_t}{p_{t+1}})}{u^\prime(y_t^t-\frac{M_t}{p_t})}=\frac{p_{t+1}}{p_t}\quad(20)$

现在考虑同样的经济中，没有通货但是有政府债券的情形。人口和遗产都与先前的经济一致，但是最初一代获得 $B_1$ 单位的到期债券，以代替消费品。每一时刻政府卖出新债券，以偿还旧债券和政府支出。令 $R_t$ 为时刻 $t$ 到时刻 $t+1$ 政府债券的毛真实回报率。

定义：

一个带有债券财政赤字的均衡，为序列 $\{B_{t+1},R_t\}_{t=1}^\infty$ ，满足：

$B_{t+1}\in\arg\max_{B_{t+1}}[u(y_t^t-\frac{B_{t+1}}{R_t})+u(y_{t+1}^t+B_{t+1})]$

且有约束条件： $\frac{B_{t+1}}{R_t}=B_t+g_t\quad(21)$

一阶条件为： $\frac{u^\prime(y_t^t-\frac{B_{t+1}}{R_t})}{u^\prime(y_{t+1}^t+B_{t+1})}=R_t\quad(22)$

联立 $(19)(20)(21)(22)$ ，得 $B_t=\frac{M_{t-1}}{p_t},R_t=\frac{p_t}{p_{t+1}}$

即货币财政赤字与债券财政赤字的同构。

3.2 Extension: Population Growth

很容易将这些模型推广到人口增长的模型中。令 $N_t=nN_{t-1}$ 为时刻 $t$ 的年轻人口数，且 $n>0$ 为毛人口增长率。

假定遗产过程满足 $(y_t^t,y_{t+1}^t)=(w_1,w_2),w_1>w_2$ ，效应函数为 $u(c)=\ln c$

货币财政赤字：

政府预算约束为： $p_tN_tg=N_tM_t-N_{t-1}M_{t-1}$

我们有： $\begin{align*}\frac{M_t}{p_t}&=\frac{1}{n}\frac{M_{t-1}}{p_{t-1}}R_{t-1}+g,t\geq2\\\frac{M_1}{p_1}&=\frac{1}{n}\frac{M_0}{p_1}+g,t=1\end{align*}\quad(23)$

对 $t\geq1$ ，每一个年轻个体的行为： $\max_{M_t}ln(w_1-\frac{M_t}{p_t})+\ln(w_2+\frac{M_t}{p_t}R_t)$

一阶条件为： $\frac{1}{w_1-\frac{M_t}{p_t}}=\frac{R_t}{w_2+\frac{M_t}{p_t}R_t}$

得： $\frac{M_t}{p_t}=\frac{w_1R_t-w_2}{2R_t}=f(R_t)\quad(24)$

将 $(24)$ 代入 $(23)$ ，得：

$\begin{align*}\frac{w_1R_t-w_2}{2R_t}&=\frac{1}{n}\frac{w_1R_{t-1}-w_2}{2}+g,t\geq2\\\frac{w_1R_1-w_2}{2R_1}&=\frac{1}{n}\frac{M_0}{p_1}+g,t=1\end{align*}\quad(25)$