书名：大宇之形（第一推动丛书·宇宙系列）
作者：丘成桐 史蒂夫·纳迪斯
译者：翁秉仁,赵学信
出版社：湖南科学技术出版社
出版时间：2018-09-01
ISBN：9787535794482

一、最小曲面

  俗话说：“一旦你手上拿着个大榔头，任何问题看起来都像根钉子。”关键在于，当掌握了某种研究利器之后，就要找出它最适合处理的问题。
  几何分析能帮助我们解决的重要问题之一，是牵涉到“最小曲面”（minimal surface）的问题。而如果它是钉子，那么几何分析大概就是最完美的榔头了。

  我们每个人应该都玩过最小曲面。把吹泡泡玩具的塑胶环浸过肥皂泡液之后，所形成的肥皂膜会因为表面张力而变得非常平滑，此时对于这个塑胶环来说，肥皂膜所覆盖的面积是最小的。用更数学的说法，最小曲面是以某一给定封闭闭圈为边界，所能形成的面积最小的曲面。

二、最小化

  “最小化”（minimization）作为几何和物理的基本概念已有数百年的历史。
  例如17世纪时，法国数学家费马（Pierre de Fermat）论证，光在通过不同介质时，必定会采取所耗能量最少（即“最小作用量”）的路径，这是最早几条以最小化来表述的重要物理学原理之一。

  最小面积的形体，对应最少能量状态；如果其他条件相同的话，这通常会是最可能的状态。
  拥有最小面积的曲面，其曲面张力为零，换句话说，它的均曲率（mean curvature）为零。这就是为什么液体表面与肥皂膜大多看起来是平滑紧绷的原因。

三、简化

  相对于“在二维以上的空间求最小面积”的曲面问题，其简化的一维版本则是找出最短的路径。

  两点之间的最短路径，在平面上是直线，在球面上则是连接两点的大圆圆弧。
  最短路径有时称为“测地线”（geodesic），但是让情况更加混淆的是，测地线有时也包括未必是最短的，但对几何学家和物理学家仍有相当重要性的路径。如果你在球面的大圆上取两点，除非这两点是像南北极点那样隔着直径相对，否则连接两点的圆弧必定一长一短。这两条路径（圆弧）都是测地线，但只有短圆弧的长度是这两点间的最短距离。较长的另一条虽然也是最小化的路径，但它只是局部的最小化，也就是说，在这条线的局部上选取任何可能路径，只有它是最短的。但它并不是一切可能路径中最短的，因为短圆弧的路径更短。像椭面的情况就还要更复杂，因为在椭面上有许多测地线，并不是所有可能路径中最短的。

四、微分方程

  要找出最短距离，必须用到微分方程。这就像是要找出最小值必须先检视导数为零的点一样。最小面积的曲面满足某种特定的微分方程，这个方程表示该曲面的均曲率处处为零的事实。一旦找出这个特定的偏微分方程，你就获得许多着手解题的信息，因为长期以来，数学家已相当了解这些方程了。

五、普拉托问题

  18世纪的时候，比利时物理学家普拉托（Joseph Plateau）做了一系列这方面的经典实验，他把弯成各种形状的铁丝浸到肥皂液里，观察其结果。普拉托的结论是肥皂膜永远是最小曲面。他更进一步推测，对于任何给定的封闭曲线，永远都可产生一个以此为边界的最小曲面。有时候这种曲面只有一个，因此是唯一的。但有时面积最小化的曲面不只一个，而且不知道总共有多少个这样的最小曲面。

  普拉托的这个猜想被称为“普拉托问题”，直到1930年才由杰西·道格拉斯（Jesse Douglas）和拉多（Tibor Rado）各自独立证明。道格拉斯还因此于1936年得到第一届的菲尔兹奖。