深度学习-前向传播与反向传播2

不同损失函数与激活函数所带来的训练的不同

	$C=\frac{1}{2}(y'-y)^2$ , $\sigma=sigmoid()$	$C=-ylogy'-(1-y)log(1-y')$ , $\sigma=sigmoid()$	$C=-\sum y_ilogy_i'$ ， $\sigma^l=sigmoid(),\sigma^L=softmax()$
导数	$C'=y'-y,\sigma'=\sigma(1-\sigma)$	$C'=\frac{1-y}{1-y'}-\frac{y}{y'},\sigma'=\sigma(1-\sigma)$	$C'(a^L_i)=-\frac{1}{a^L_i} , softmax'(z^L_i)=a^L_i(1-a^L_i)$
$\delta^L=C'\odot\sigma'$	$(a^L-y)\odot\sigma(1-\sigma)$	$a^L-y$	$(0,0,...,a^L_i-1,..,0)^T$
$\frac{\partial C}{\partial W^L}$	$\delta^L(a^{L-1})^T$	$\delta^L(a^{L-1})^T$	$\delta^L(a^{L-1})^T$
$\delta^l$	$(W^{l+1})^T\delta^{l+1}\odot\sigma'(z^l)$	$(W^{l+1})^T\delta^{l+1}\odot\sigma'(z^l)$	$(W^{l+1})^T\delta^{l+1}\odot\sigma'(z^l)$
$\frac{\partial C}{\partial W^l}$	$\delta^l(a^{l-1})^T$	$\delta^l(a^{l-1})^T$	$\delta^l(a^{l-1})^T$
$\frac{\partial C}{\partial b^l}$	$\delta^l$	$\delta^l$	$\delta^l$

对比前两列，最大的不同在 $\delta^L$ ,使用交叉熵的模型少乘了一个 $\sigma'$ ,而 $\sigma'$ 往往是很小的(只在0附近比较大)，所以第二列会比第一列收敛快。

但关键是在 $\delta^l$ ，大家都一样，但是随着l的不断减小，累乘的 $\sigma'$ 越来越多，最后导致有的 $\delta^l$ 越来越小趋近于0造成梯度消失(因为 $0<sigmoid'\le0.25$ )。这样导致底层网络权重得不到有效训练。同样，有的激活函数导数可能会很容易>1，这样就会造成梯度爆炸。总结起来就是，由于反向传播算法的固有缺陷，在网络层数过多时，会出现梯度学习问题，为了解决有如下常用方法，具体见上链接。

针对梯度爆炸，可以人为设定最大的梯度值，超过了就等于最大梯度值。这种做法叫梯度剪切。另外也可以对权重做正则化，来确保每次权重都不会太大。
针对梯度消失，如果激活函数的导数=1，那么就不会出现消失或爆炸，于是提出了ReLu激活函数
另外还有残差网络，batchnorm等技术

根本上就是针对BP的 $\delta^l$ 的组成，要么从激活函数导数入手，要么从权重W入手，要么从连乘的传递结构入手等等。

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