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数学分析理论基础14：初等函数的连续性

数学分析理论基础14：初等函数的连续性

初等函数的连续性

指数函数的连续性

定理：设 $\alpha\gt 0,\alpha,\beta\in R$ ,则 $a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta},(a^\alpha)^\beta=a^{\alpha\beta}$

证明：

$不妨设a\gt 1$

$a^x=\underset{r\le x}{sup}\{a^r|r\in Q\}$

$由上确界定义$

$\forall \varepsilon\gt 0,\exists r,s\in Q,r\le \alpha,s\le \beta使得$

$a^\alpha-\varepsilon\lt a^r,a^\beta-\varepsilon\lt a^s$

$由a^x的严格增性$

$a^{r+s}\le a^{\alpha+\beta}$

$由有理指数乘幂性质$

$a^r\cdot a^s=a^{r+s}$

$\therefore (a^\alpha-\varepsilon)(a^\beta-\varepsilon)\lt a^{r+s}\le a^{\alpha+\beta}$

$由\varepsilon的任意性$

$a^\alpha\cdot a^\beta\le a^{\alpha+\beta}$

$同理,\exists p\in Q,p\le \alpha+\beta使得$

$a^{\alpha+\beta}-\varepsilon\lt a^p$

$使p\le r+s$

$则a^p\le a^{r+s}=a^r\cdot a^s\le a^\alpha\cdot a^\beta$

$\therefore a^{\alpha+\beta}-\varepsilon\lt a^p\le a^\alpha\cdot a^\beta$

$\therefore a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：指数函数 $a^x(a\gt 0)$ 在R上是连续的

证明：

$a\gt 1时$

$\lim\limits_{x\to 0}a^x=1=a^0$

$\therefore a^x在x=0连续$

$\forall x_0\in R$

$a^x=a^{x_0+(x-x_0)}=a^{x_0}\cdot a^{x-x_0}$

$令t=x-x_0,则x\to x_0时t\to 0$

$\therefore \lim\limits_{x\to x_0}a^x=\lim\limits_{x\to x_0}a^{x_0}a^{x-x_0}$

$=a^{x_0}\lim\limits_{t\to 0}a^t=a^{x_0}$

$\therefore a^x在任一点x_0连续$

$0\lt a\lt 1时$

$令b={1\over a},则b\gt 1$

$a^x=({1\over b})^x=b^{-x}$

$可看作函数b^u与u=-x的复合$

$\therefore a^x在R上连续\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注： $a^x$ 的反函数,对数函数 $log_ax$ 在其定义域 $(0,+\infty)$ 内也连续

例：设 $\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=a\gt 0,\lim\limits_{x\to x_0}v(x)=b$ ,证明 $\lim\limits_{x\to x_0}u(x)^{v(x)}=a^b$

证：

$补充定义u(x_0)=a,b(x_0)=b$

$则u(x),v(x)在点x_0连续$

$\therefore v(x)lnu(x)在x_0连续$

$\therefore u(x)^{v(x)}=r^{v(x)lnu(x)}在x_0连续$

$\therefore \lim\limits_{x\to x_0}u(x)^{v(x)}=\lim\limits_{x\to x_0}e^{v(x)lnu(x)}$

$=e^{blna}=a^b$

幂函数的连续性

幂函数 $x^\alpha(\alpha\in R)$ 可表为 $x^\alpha=e^{\alpha lnx}$ ,是函数 $e^u$ 与 $u=\alpha lnx$ 的复合

由指数函数与对数函数的连续性,及复合函数的连续性,可知幂函数 $y=x^\alpha$ 在其定义域 $(0,+\infty)$ 上连续

初等函数的连续性

定理：一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数

任何初等函数都是由基本初等函数经有限次四则运算与复合运算得到

定理：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数

例：求 $\lim\limits_{x\to 0}{ln(1+x)\over x}$

解：

$由对数函数的连续性$

$原式=\lim\limits_{x\to 0}ln(1+x)^{1\over x}$

$=ln[\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1\over x}]$

$=lne=1$

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