（摘自《儿童心理学手册》第六版，第四卷【应用儿童心理学】，第四章【数学思维与学习】）

多位数计算

虽然已有的理论和研究让我们对儿童如何学会小数字的加减法，有了很好的理解，但是在多位数算术领域关于概念和策略的区分及他们是如何随时间发展的研究却很少。

过去的十年里，很多国家的大量研究记载了在心算的加减法中儿童及成人不使用学校教的正式的书面运算法则，却使用非正式策略的频次及变化的特点。例如，美国学者Carpenter等人(1998)进行了一个纵向研究，调查了从一年级到三年级儿童的多位数加减法的发展与他们理解多位数概念之间的关系。他们与学生针对各种各样的任务进行了五次个别访谈，包括直接的、结果未知的加减法词语问题，最先的三次访谈是关于两位数的，最后的两次是关于三位数的。在相同的访谈中，儿童被个别安排了五项任务，测试他们10以内的数概念的知识，还有一项任务，他们不得不应用一项特别的发现策略来解决另外一个问题，以及两项不熟悉的问题（缺少加数），这些需要计算的灵活性。特别需要指出的是，班级所有学生的指导老师参加了三年干预的学习，目的是为了帮助他们根据改革的原则理解和建立儿童的数学思维。这一干预的重点是儿童的直觉数学观念是如何成为正式的概念和程序的发展基础的。老师们了解儿童是如何使用10以内的材料来解决问题以及儿童经常构建的多样的发现策略。研究者将策略分为以下几种：

以1为单位的模型或记数；

以10为单位的模型；

合并-单位策略（也称为分解或拆解策略），在这里以100，以10，以不同数字为单位是分开的并且分别处理的（比如，46+47由40+40=80并且6+7=13得出，答案是80+13=93）。

。顺序策略或跳跃策略，在这里第二个数字的不同值加起来，或者加上第一个没有拆分的数字（比如，46+47，根据46+40=86，86+7=93）。

。补偿策略或变化策略，在这里调整数字以简化计算[比如，46+47=（45+45）+1+2=93]。

。其他产生的心算策略。

。运算法则[也包括错误运算法则（buggy algorithm）]，在这里根据心算是找不到答案的，但是可以应用学过的位数运算法则。

研究表明，在有利的情况下，儿童能够产生心算策略解决加减法问题。而且，那些开始就用运算法则的儿童比那些使用标准运算法则之前或同时使用心算策略的学生更频繁地使用错误运算法则。后者比前者表现出更好的10以内的数字概念，他们能更成功的把自己的知识扩展到新的情境中。最后，研究数据还表明在加法中三种基本的心算策略的形成没有明显的顺序（顺续、组合和补偿）；大多数学生三种策略都使用，它们出现的顺序是混乱的。对于减法来说，最常用顺序策略，但也使用一些补偿策略。

Fuson等人(1997)及Hiebert、Wearne(1996)的研究都发现，学生的多位数加减法心算策略发展与学生概念知识的发展密切相关。这两个研究，均在非传统的改革的教室中发现了这一结论。后一个研究的作者从一年级到四年级追踪学生。他们通过要求学生识别十位数上的数字来评估学生的概念理解，要求他们用具体的材料来代表一个数字的每个位数上的值，以此来区分多位数的具体表示。程序性知识通过描述两位数加法和减法问题来评估，该问题也可用标准运算法则解决或者用产生的步骤。测验中使用的数字大小随儿童年龄增长而变化。评估阶段后，概念理解水平高的学生在程序测量中得分较高，这成为陈述性知识和程序性知识之间紧密关系的第二种支持，Hiebert和Wearne发现早期的概念理解不仅能预测当前的程序技能，也能预测未来的程序能力。

一些研究者的研究表明，儿童也能产生多位数乘除法策略，并且能够描述他们使用的一些策略。然而，对乘除法策略产生的描述取得的进步比多位数加减法小得多。接下来我们分析总结了Ambrose、Baek和Carpenter(2003)对儿童产生多位数乘除法依赖的概念和技能的研究。我们强调产生这些策略不是平白无故发生的，而是在允许甚至刺激儿童去建构、详细描述和精炼他们自己的头脑策略的教育改革环境中产生的，不是强迫他们沿着一个统一的、标准化的头脑算术或书面算术的轨道。英国的Anghileri（1999）和Thompson（1999）针对根据英国国家数字策略的原则教育的儿童开展的研究和由荷兰的Treffers（1987）和Van Putten、Van

Den Brom-Snijders和Beishuizen（2005）根据实际数学教育的原则教育的儿童开展的研究得到了相似的结论。

Ambrose等人（2003）把儿童对于乘法问题的心算策略分成四类：直接模型化、完成数字策略、拆分数字策略和补偿策略。使用直接模型化策略的儿童，用具体操纵物或绘画将每一组模型化，在这些直接模型化策略中，最基本的策略包括使用个别筹码来直接代表问题（与使用一位数完全一致）。当儿童形成了10以内的数学基础知识时，他们开始使用以10为基础的材料而不是把每个筹码直接模型化来解决问题。第二种，完成数字策略，根据更有效的技术作相加和加倍来描述策略。最基本的一个策略是简单地重复相加。另外还包括加倍、复合加倍以及以及其他因素建构。运用拆分数字策略的儿童将被乘数和乘数分解成两个或多个数字，并将容易计算的部分相乘。这一步骤允许儿童降低问题的复杂性，并且运用他们已知的乘法知识。一个数字被拆分成非10倍数的策略，或者分成10的倍数的策略，或者两个数字都被拆成10的倍数的策略是有区别的。最后，运用补偿策略的儿童根据数字组合的特点调整被乘数和乘数或者其中一个来简化计算。如果需要，儿童会作相应的调整。Ambrose等人提出了类似的除法策略的分类。许多儿童在学习中形成了他们的多位数心算策略，从直接模型化到完成数字策略的发展顺序，来拆分数字变成非10倍数和10倍数。另外，儿童解决多位数乘法问题的策略随他们的陈述性知识而变化，比如加法、单位、以10分组的数以及四种基本运算的特性。

我们对这些研究的分析表明，这些研究者是如何调查儿童陈述性知识和陈述性知识的发展的。调查者依据Fuson建构的模型分析陈述性知识(1992；1997)。这一框架被称为UDSSI三位一体模型，在这一模型里区分了五个概念的结构名称（单一的、十进制的、连续的、分离的、整合的）。每个概念都包含数字、书面数字记号和数量的三位一体关系。每种关系与另外两种相联系。根据模型，儿童从语言的多位概念开始，此时的概念中数量没有被分组表示，数字的词和记号两种形式没有被区分成两部分。举个例子，有15个面包圈，没有把1和“15”中的“10”联系起来，数量也没有在意义上分成10个面包圈和5个面包圈。在最复杂的概念中，在连续的十位数和分离的十位数概念的三部分（如数字语言、记号和数量）中，每一部分中的十位和个位之间建立连续的-分离的十位数整合概念及在两者之间建立互相转换的关系。这一整合的概念允许儿童在解决问题时灵活应用两位数。

Fuson（1997）承认这一发展模型在一些方面还存在缺陷。

首先，根据使用的语言可以看出在发展中有质和量的差异。欧洲数字需要10的概念，书面数字信号需要将10和1的概念分离。对于词和记号的更深入的了解，欧洲儿童需要建构UDSSI的所有的五个多位数概念。但是中国儿童能更容易地按规则使用十位数并对它命名，因为他们有数字语言为基础。

第二，儿童在不同的时间学习一个给定数字（或一组数字）的六种相互关系，也许不能构建最终的99以下所有数字的三位一体关系，因为第一个三位一体关系之前的一种概念已经被另一种概念解释了。

第三，不是所有的儿童都建构所有的概念；这些建构依赖于儿童个体在教室和校外经历的概念支持。在这方面，需要注意Fuson的框架除了指出这五个概念结构之外还包括第六个，不充分的概念，称为“连接个位数概念”，它指出应把多位数解释成个位数之间的连接，而不是数字在不同位置的意思。Fuson指出，使用个位数之间的连接成多位数的意义可能源于教室的经验”没有充分支持儿童对多位意义的建构，确实要求儿童以程序的、规则指向的形式加减多位数，和确实期望学校数学活动不要求儿童去思考或评价含义”。

最后，具有多于一个多位数概念的儿童，在不同情况下可以使用不同的概念或者在一个情境中组合三位一体的不同部分。举例来说，即使在那些已经具备有意义概念的儿童中，纵向呈现一个加法或减法问题代替了横向呈现的形式，可能会引导他们使用连接单个位数的概念结构，所以儿童的多组概念并没有符合统一的、阶段式的模型。

我们现在来分析这一理论框架的一些评论。

首先，以经验为基础的模型的最新版本在某种程度上是不具体的。它仍不清楚哪些方面的发展受有成效的学习环境的特殊性影响，哪些方面的发展更多地不受教学控制的一般因素影响。

第二，Fuson等人（1997）的模型只强调当儿童开始探索和操作多位数字的时候，儿童对数字和数字关系的理解的一个方面，即他们以10为基础的结构。Fuson（1992）指出，除了这种数字的“收集基础”解释，还有一种“查数基础”的解释。Treffers指出这两种解释分别是“数字结构的”和“安置的”代表。他把“安置”定义为“把所有的数字放在一个有固定的起点和结束点的空数字线上的能力”。同样的，Treffers的“安置”解释表明与Dehaene的理论是一致的，该理论设想了一个模拟的量级编码（一种心理数字线）作为数字的主要语义表征，即关于数字在人类思想（和头脑）中如何代表自身。虽然一些在多位数算术领域工作的数学教育者在他们的实验课程、课本和指导材料中把查数基础或者安置解释置于一个重要的地位，我们还没有发现任何一个研究以一种广泛的、系统的方式描述儿童的数字概念知识和多位数字发展的其他方面的关系。

总体来说，尽管20世纪70年代和80年代的研究集中在儿童解决相对小的整数数学问题上，但研究者们后来更加关注多位数计算的问题。有别于儿童心算策略的，除了解决儿童常规学习的书面计算的标准运算法则取得进步外，在鉴别和描述儿童用来计算多位数的不同概念和策略上也取得了重大的进展。儿童多位数运算步骤有别于心算的三种主要策略：

1.数字在查数行中主要被看作目标的策略，运算沿着查数行移动：进一步（+）、后退（-）、重复进一步（×）、重复后退（÷）。

2.随着小数结构，数字主要被看作目标的策略，以这一结构为基础，对数字进行分开和加工的操作。

3.以算术特性为基础的策略，数字被看作能够用各种方式建构的目标，在选择合适的结构，并且应用合适的算术特性后进行运算。

每一种基本方式都能在不同的水平上执行，包括内在化、缩写、抽象和格式化。另外，每一种都能在四种算术运算中发现。

这些过去十年来关于多位数心算研究的描述指出，多位数算术专门知识的基本特点是可产生一些心算步骤以及灵活使用不同的策略。已有的研究揭示出，分离利用以10为基础概念的发展及其他数字补充的概念化发展作多位数算术的学习步骤是不可能的。Rittle-Johnson & Siegler（1998）发现了在多位数算术的陈述性知识和程序性知识之间紧密关系的实验结果。同时，他们指出一些研究结果表明，在传统的教学中，只强调练习过程，不强调练习与理解陈述性知识之间的联系，导致陈述性知识和程序性知识的发展的联系非常松散。最后，研究提出了多位数算术“倾向的本质”。尽管这很消极，但还是真实地记录了传统上教给儿童以模式化的固定的方式应用标准运算法则的倾向。即使在心算更合适的情况下，比如24 000 / 6000=______或者4 002-3998=______，而当偏离了标准运算规则的通常模式时，由于他们缺乏自信，他们不敢轻易行动和冒险。