统计推断
摘抄自Casella G.,Berger R.L..Statistical Inference
2023-01-16

统计推断

第一章概率论

贝叶斯公式：设 $A_1,A_2,A_3,...,$ 为样本空间的一个划分， $B$ 为任意集合，则对 $i=1,2,...$ ，有： $P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^{\infty}{P(B|A_j)P(A_j)}}$

分布函数

对任意随机变量X我们都可以对应构造一个称为累积分布函数的函数，称为 $X$ 的cumulative distribution function，即cdf，记作 $F_X(x)$ ，表示 $F_X(x)=P_X(X\leq{x})，其中x任意$
定理1.5.3 函数 $F(x)$ 是一个累积分布函数，当且仅当它同时满足下列三个条件：
a. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$ 且 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$ ；
b. $F(x)$ 是 $x$ 的单调递增函数；
c. $F(x)$ 右连续，即任意 $x_0$ 有 $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}F(x)=F(x_{0})$
定义1.6.3 连续随机变量 $X$ 的概率密度函数简称pdf为： $F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x}{f_{X}(t)dt}，其中x任意$
定理1.6.5 函数 $f_{X}(x)$ 是随机变量 $X$ 的概率密度函数（离散变量的概率密度函数称为概率质量函数）当且仅当它同时满足下列两个条件：(空格是用&emsp;打出来的。)
a.对任意 $x$ ，都有 $f_{X}(x)\geq0$ ;
b. $\sum_{x}f_{X}(x)=1$ 概率质量函数或者 $\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(x)dx=1$ 概率密度函数
集合中的公式表达 补集， $A$ 的补集是由不属于 $A$ 的元素所构成的集合，记作： $A^{C}=\{x:x \notin A\}$ 集合的并、交运算可以推广到无穷集合族。
设 $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3},...$ 是样本空间 $S$ 上的一族集合，则 $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}= \{x\in S:\exists i,使得x\in A_{i}\}$ 即求无穷多个 $A$ 的并集。 $\bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i}= \{x\in S:任意i,有x\in A_{i}\}$ 即求无穷多个 $A$ 的交集。

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