同济高等数学第七版1.4习题精讲

1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明。

解：不一定。例如：当 $x\to 0$ 时， $x$ 与 $2x$ 都是无穷小，但二者之商却不是无穷小。

2.根据定义证明：

(1) $y=\frac{x^2-9}{x+3}$ 为当 $x\to 3$ 时的无穷小；

(2) $y=xsin{\frac{1}{x}}$ 为当 $x\to 0$ 时的无穷小。

证明：本题要求根据定义证明，相当于证明在该趋势下函数的极限为0即可。所以依然根据极限证明的八股文即可。

(1)对于任意小的 $\epsilon>0$ ,要使得 $|f(x)-0|=|\frac{x^2-9}{x+3}|=|x-3|<\epsilon$ 成立，只需取 $\delta=\epsilon$ ,于是乎对于任意小的 $\epsilon<0$ ,总存在 $\delta$ ,当 $0<|x-3|<\delta$ 时 $|f(x)-0|=|\frac{x^2-9}{x+3}|=|x-3|<\epsilon$ 成立。问题得证。

(2)对于任意小的 $\epsilon>0$ ,要使得 $|f(x)-0|=|xsin\frac{1}{x}|\leq |x|<\epsilon$ 成立，只需取 $\delta=\epsilon$ ,于是乎对于任意小的 $\epsilon<0$ ,总存在 $\delta$ ,当 $0<|x|<\delta$ 时 $|f(x)-0|=|xsin\frac{1}{x}|\leq |x|<\epsilon$ 成立。问题得证。

3.根据定义证明：函数 $y=\frac{1+2x}{x}$ 为当 $x\to0$ 时的无穷大。问 $x$ 应满足什么条件，能使得 $|y|>10^4$ ?

证：对于任意给定的正数 $M>0$ ，要想使得 $|f(x)|=|\frac{1+2x}{x}|=| \frac{1}{x}+2|>|\frac{1}{x}|-2>M$ 成立。只需 $|\frac{1}{x}|>2+M$ 即可。即 $|x|<\frac{1}{2+M}$ 。故取 $\delta=\frac{1}{2+M}$ ，于是对于任意给定的正数 $M>0$ ，总存在 $\delta=\frac{1}{2+M}$ ，当 $0<|x|<\delta$ 时有 $|f(x)|=|\frac{1+2x}{x}|=| \frac{1}{x}+2|>|\frac{1}{x}|-2>M$ 成立。问题得证。

要使得 $|y|>10^4$ 就相当于令 $M=10^4$ ，所以取 $\delta=\frac{1}{2+M}=\frac{1}{10^4+2}$ ，于是当 $0<|x|<\delta$ 时有 $|f(x)|=|\frac{1+2x}{x}|=| \frac{1}{x}+2|>|\frac{1}{x}|-2>M$ 成立。所以最后的答案就是需要计算 $0<|x|<\delta$ 这个。