三角函数之二：任意角的三角函数

二、任意角的三角函数

1、三角函数定义

①锐角三角函数

如图：
$\sin\alpha=\frac {b}{c}$
$\cos\alpha=\frac {a}{c}$
$\tan\alpha=\frac {b}{a}$

②单位圆中的三角函数

单位圆：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆。

如图：
$\sin\alpha=y$
$\cos\alpha=x$
$\tan\alpha=\frac {y}{x}$

③ $\alpha$ 终边上任意一点三角函数

设 $\alpha$ 终边一点P(x,y)，P点与原点距离|PO|=r= $\sqrt{x^2+y^2}$ ,
此时很容易表示角 $\alpha$ 的三角函数:
$\sin\alpha=\frac {y}{r}$
$\cos\alpha=\frac {x}{r}$
$\tan\alpha=\frac {y}{x}$

2、三角函数值在各象限的符号

如上图，三角函数在各个象限的符号。分析：
① $\sin\alpha=\frac {y}{r}$
r为P点到原点的距离， $\therefore$ $r > 0,$
在一二象限中， $y > 0$ , $\therefore$ $\sin\alpha > 0$ ；
在三四象限中， $y < 0$ , $\therefore$ $\sin\alpha < 0$ 。

② $\cos\alpha=\frac {x}{r}$
r为P点到原点的距离， $\therefore$ $r > 0,$
在一四象限中， $x > 0$ , $\therefore$ $\cos\alpha > 0$ ；
在二三象限中， $x< 0$ , $\therefore$ $\cos\alpha < 0$ 。

③ $\tan\alpha=\frac {y}{x}$
x与y同号，则 $\tan\alpha > 0$ ,
反之，x与y异号，则 $\tan\alpha < 0$ 。
一三象限中，x与y同号, $\therefore$ $\tan\alpha > 0$ ；
二四象限中，x与y异号, $\therefore$ $\tan\alpha < 0$ 。

参考口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
口诀中表示三角函数数值为正时，角的终边所在的象限。

3、三角函数线

如图，作出 $\alpha$ 角在四个象限的三角函数线。
$\sin\alpha=MP$
$\cos\alpha=OM$
$\tan\alpha=AT$
有向线段MＰ，ＯＭ，ＡＴ分别叫做角 $\alpha$ 的正弦线，余弦线，正切线。这三条函数线如果指向坐标轴正方向，则函数值为正。反之，如果指向坐标轴的负方向，则函数值为负。
注意：一定要理解三角函数线的正负方向与三角函数值正负的关系。

4、同角三角函数的基本关系

商数关系： $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha} {\cos \alpha}$
平方关系： $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
公式的变形：
$\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha$
$\cos \alpha=\frac{sin\alpha} {tan\alpha}$
$\sin^2\alpha = 1- \cos^2\alpha$
$\cos^2\alpha = 1-sin^2\alpha$