观察矩阵推导

顾名思义，观察矩阵的作用就是将一个点从世界坐标系转换到观察坐标系，这个点的实际位置并不发生变化。参考上一篇文章，问题就转化成了，假设任意点 $\vec p$ ，它在世界坐标系 $W$ 下的坐标为 $(x, y, z)$ ，求在观察坐标系 $V$ 下的坐标 $(x', y', z')$ 。套用公式，可得：
$\vec p = x'\vec i_V + y'\vec j_V + z'\vec k_V + \vec o_V = x\vec i_W + y\vec j_W + z\vec k_W + \vec o_W$
其中 $o$ 为坐标系的原点坐标。将上述基向量看作世界坐标系 $W$ 下的向量，可以写成矩阵形式：
$[x,y,z,1] = [x',y',z', 1] \cdot \begin{bmatrix} \vec i_V & 0 \\ \vec j_V & 0 \\ \vec k_V & 0 \\ \vec o_V & 1 \end{bmatrix}$
其中， $\vec i_V，\vec j_V，\vec k_V, \vec o_V$ 是观察坐标系 $V$ 的基向量和原点在世界坐标系 $W$ 的表示。一般来说，建立观察矩阵提供的参数是摄像机的世界坐标 $(Q_x, Q_y, Q_z)$ ，摄像机观察的目标点的世界坐标 $(T_x, T_y, T_z)$ ，代表世界up方向的向量 $(U_x, U_y, U_z)$ 。分别求出上面矩阵的各个向量：
$\vec o_V = (Q_x, Q_y, Q_z)$

$\vec k_V = (T_x - Q_x, T_y - Q_y, T_z - Q_Z)$

$\vec i_V = \vec{up} \times \vec k_v$

$\vec j_v = \vec k_v \times \vec i_v$

注意要将它们进行归一化。归一化之后，可以得到
$[x',y',z',1] = [x,y,z,1] \cdot \begin{bmatrix} \vec i_V & 0 \\ \vec j_V & 0 \\ \vec k_V & 0 \\ \vec o_V & 1 \end{bmatrix}^{-1} \\ = [x,y,z,1] \cdot (\begin{bmatrix} \vec i_V & 0 \\ \vec j_V & 0 \\ \vec k_V & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ & \vec o_V & & 1 \end{bmatrix})^{-1} \\ = [x,y,z,1] \cdot (\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ & -\vec o_V & & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \vec i_V & \vec j_V & \vec k_V & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}) \\ = [x,y,z,1] \cdot \begin{bmatrix} i_x & j_x & k_x & 0 \\ i_y & j_y & k_y & 0 \\ i_z & j_z & k_z & 0\\ -\vec o_V \cdot \vec i_V & -\vec o_V \cdot \vec j_V & -\vec o_V \cdot \vec k_V & 1 \end{bmatrix}$
这就是我们最终要求的观察矩阵。

观察矩阵推导

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