大师兄的应用回归分析学习笔记（二十八）：含定性变量的回归模型（一）

大师兄的应用回归分析学习笔记（二十九）：含定性变量的回归模型（二）

大师兄的应用回归分析学习笔记（二十七）：非线性回归（三）

一、自变量含定性变量的回归模型

• 对于一些自变量是定性变量的情形先进行量化处理，方法是引进只取0和1两个值的虚拟自变量将定性变量数量化。
• 当某一属性出现时，虚拟变量取1，否则取0，
• 虚拟变量也称为哑变量。

1. 简单情况

• 首先讨论定性变量只取两类可能值的情况，例如研究粮食产量问题，y为粮食产量，x为施肥量，另外再考虑气候问题，分为正常年份和干旱年份两种情况。
• 对这个问题的数量化方法是引入一个0 - 1 型变量D，令：

• 表示正常年份
• 表示干旱年份

• 粮食产量的回归模型为：，式子中：

• 干旱年份的粮食平均产量为：
• 正常年份的粮食平均产量为：
• 这里的前提条件是，认为干旱年份与正常年份回归直线的斜率是相等的，也就是不论是干旱年份还是正常年份，施肥量x每增加一个单位，粮食产量平均都增加相同的数量。
• 对参数的估计仍采用最小二乘法。

2. 案例

• 某经济学家像调查文化程度对家庭储蓄的影响，在一个中等收入的样本中，随机调查了13户高学历家庭与14户低学历家庭。

  
  

• 因变量y为上一年家庭储蓄增加额
• 自变量为上一年家庭总收入
• 自变量为家庭学历，高学历家庭，低学历家庭

• 计算出的残差值：

  
  

• 输出结果：

  
  

• 两个自变量都是显著的
• 复决定系数
• 回归方程为：

• 结果表明：

• 低学历家庭每增加1万元收入，平均拿出3825.92元作为储蓄
• 高学历家庭每年的平均储蓄增加额少于低学历家庭，平均少3698.163元。

• 如果不引入家庭学历定性变量：
  

• ，说明拟合效果不好

2. 复杂情况

• 在某些场合下，定性变量可能取多类值，比如季节因素分为春、夏、秋、冬四种情况。
• 初步设想引入四个0-1型的自变量：

• 春季，其他
• 夏季，其他
• 秋季，其他
• 冬季，其他

• 可是这样做会产生一个新问题，即四个自变量之和恒等于1，即，构成完全多重共线性。
• 解决这个问题的方法是去掉一个0-1型变量，保留三个变量即可。
• 一般情况下，当一个定性变量有k类可能得取值时，需要引入k-1个0-1型自变量即可。