向量，矩阵，张量求导法则

向量，矩阵，张量求导

向量，矩阵，张量求导

参考：http://cs231n.stanford.edu/vecDerivs.pdf

向量对向量求导

如何对 $y = Wx$ 求导？其中：

$y: {C\times1}$

$W: {C\times D}$

$x: {D\times 1}$

可以先通过计算一种特例，比如 $\frac{\partial{y_7}}{\partial{x_3}}$ 来更好地理解, $y_7$ 可以写成
$y_7 = \sum_{j=1}^{D}W_{7,j} x_j =W_{7,1}x_1 + W_{7,2}x_2 + W_{7,3}x_3+\cdots$
所以 $\frac{\partial{y_7}}{\partial{x_3}}=W_{7,3}$ 。进而， $\frac{\partial{y}}{\partial{x}} = W$

PS: 标量对向量求导的维度为 $1*n$ ; 向量对标量求导的维度为 $n*1$ ;

向量对矩阵求导

$y = xW$ , 如何求 $\frac{\partial{y}}{\partial{W}}$ ？其中：

$y: {1\times C}$

$W: {D\times C}$

$x: {1\times D}$

依然先计算特例： $\frac{\partial{y_3}}{\partial{W_{78}}}$ , 首先
$y_3 = x_1 W_{13} + x_2W_{23} + \dots + x_D W_{D3}$
所以可以看到 $\frac{\partial{y_3}}{\partial{W_{78}}}=0$ ，进一步又发现
$\frac{\partial{y_j}}{\partial{W_{ij}}} = x_i$
于是令 $F_{i,j,k}=\frac{\partial{y_i}}{\partial{W_{jk}}}$ ，有
$F_{i,j,i} = x_j$
张量 $F$ 的其余项均为0，因此可以定义一个二维矩阵 $G_{i,j} = F_{i,j,i}$ 来表示 $\frac{\partial{y}}{\partial{W}}$ 的结果。

PS：Representing the important part of derivative arrays in a compact way is critical to efficient implementations of neural networks.

矩阵对矩阵求导

$Y=XW$ , 如何求 $\frac{\partial{Y_{a,b}}}{\partial{X_{c,d}}}$ ？其中：

$Y: {n\times C}$

$W: {D\times C}$

$x: {n\times D}$

依然进行展开：
$Y_{i,j} = \sum_{k=1}^D X_{i,k}W_{k,j}$
于是有
$\frac{\partial{Y_{i,j}}}{\partial{X_{i,k}}} = W_{k,j} \tag{1}$
因此
$\frac{\partial{Y_{a,b}}}{\partial{X_{c,d}}} = \begin{cases} W_{d,b}, \qquad \text{when}\ a=c\\ 0, \qquad \text{when}\ a\neq c \end{cases}$
可以发现

实际上 $\frac{\partial{Y_{a,b}}}{\partial{X_{c,d}}}$ 所有的结果都包含在 $W$ 中。
$\frac{\partial{Y_{i,j}}}{\partial{X_{i,k}}}$ 与 $X,Y$ 的行索引没有关系。
In fact, the matrix W holds all of these partials as it is–we just have to remember to index into it according to Equation 1 to obtain the specific partial derivative that we want.

使用链式法则

$y=Vm$ , 其中 $m=Wx$ , 求 $\frac{\partial{y}}{\partial{x}}$ ?

依然先从特例开始：
$\begin{aligned} \frac{\partial{y_i}}{\partial{x_j}} &= \frac{\partial{y_i}}{\partial{m}}\frac{\partial{m}}{\partial{x_j}} \\ &= \sum_{k=1}^M \frac{\partial{y_i}}{\partial{m_k}}\frac{\partial{m_k}}{\partial{x_j}} \\ &= \sum_{k=1}^M V_{i,k}W_{k,j} \\ &= V_{i,:}W_{:,j} \end{aligned}$
因此
$\frac{\partial{y}}{\partial{x}} = VW$

总结

为了求得最终的导数结果，往往需要先求中间的结果，例如先求 $\frac{\partial{y_i}}{\partial{x_j}}$ , 再求 $\frac{\partial{y}}{\partial{x}}$

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向量，矩阵，张量求导法则