2.5 无限深势阱 Infinite square well (particle in a box)

https://www.youtube.com/watch?v=nFHhLJGDNHA&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=17

前言

我们已经学习静态薛定谔方程的性质，如 $\hat H$ 的期望是能量，方差等于0，薛定谔方程解的线性，叠加态，波函数的朝向等等等等，下面我们来求解第一个实际问题的薛定谔方程。

1. Infinite square well potential 无限深势阱

$V = \begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \ if\ 0 \leq x \leq a \\ \infty\ \ \ \ \ \ otherwise \\ \end{cases}$

静态薛定谔方程
$\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x)\psi = E\psi$
- IF outside region? Bad $\Rightarrow\ \psi(x)=0,\ when\ x <0,\ x>a$
- IF inside region?
  $\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} =E\psi$
  这就是我们想求解的薛定谔方程

2. 求解 TISE

- $k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}，这里用K^2是一个小tip，经过求解众多的薛定谔方程后发现，K^2比用K更有意义$

这里插一下，根据经典动能和动量的公式 $E=1/2 m v^2，\ p=mv$
$v=p/m\\ \Rightarrow E = 1/2 m (\frac {p} {m})^2\\ \Rightarrow E =\frac{p^2}{2m}\\ \Rightarrow p = \sqrt{2mE}\\ \Rightarrow p = \sqrt{2mE}\\ 狄拉克公式告诉我们，真正的动量p' = \hbar k$

Guess：方程的通解为
$\psi(x) = A \sin(kx) + iB cos(kx)$
- 这里我们仍然不知道：
  $A= ?,\ B=?,\ K=?$
需要边界条件！
- when x=0, $\psi = 0$
  $\psi(0) = Asin(0) + iB = 0 \\ \Rightarrow B = 0$
- when x=a, $\psi = 0$
  $\psi(a) = Asin(ka) = 0 \\ ka = 0, \pm \pi,\pm 2\pi,...$
- 简化
  如果ka=0，那么波函数始终=0，这就没意思了。
  因为sin(x)是奇函数，所以对于正负号可以全都拿到Asin(x)中的常数A里面，所以最终确定的解有：
  $ka = \pi,\ 2\pi,...,\ n\pi$
- 则
  $\Rightarrow \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a=n\pi \\ \Rightarrow E = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}$
  最终得到了离散的能量值，这就是量子力学中的量子所在
  波函数：
  $\psi_n(x) = A \sin(\frac{n\pi}{a}x)$

疑问？如果n无限大的话，能量就无限大咯？这怎么解释，而且，这表明对于同一个势能，物体可能有无限种运动波函数，每种波函数都有对应一种能量，哪一个是真的呢？还是所有的都是真实存在的？

2. 正则化 Normalization

$\int \psi^* \psi dx = 1$
$\int_0^a A^2 sin^2(\frac{n\pi}{a}x) = 1$
$\because \sin^2(x)=1/2-1/2\cos(2x)$ 平均值=1/2
$A^2 1/2 a =1 \Rightarrow A=\sqrt{2/a}$
$\Rightarrow \psi_n(x) = \sqrt{2/a} \sin{(n\pi/a x)}$
画波函数
- n=1， E1,波函数从x=0，到x=a，经历了一个π
- n=2，同理2个π
  
  image.png

2.5 无限深势阱 Infinite square well (particle in a box)

前言

1. Infinite square well potential 无限深势阱

2. 求解 TISE

2. 正则化 Normalization

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