均匀平面波在无界空间中的传播

均匀平面波

所谓均匀平面波，是指电磁波的场矢量只沿着它的传播方向变化，在与波传播方向垂直的无限大平面内，电场强度E和磁场强度H的方向、振幅和相位都保持不变。

沿z方向的均匀平面波

在无源空间中，即ρ=0，J=0，在线性和各向同性的均匀理想介质中，假设我们选用的直角坐标系中均匀平面波沿z方向传播，则E和H都不是x和y的函数，即

$\frac{{\partial \overrightarrow E }}{{\partial x}} = \frac{{\partial \overrightarrow E }}{{\partial y}} = 0,\frac{{\partial \overrightarrow H }}{{\partial x}} = \frac{{\partial \overrightarrow H }}{{\partial y}} = 0$

同时，由 $\nabla \cdot \overrightarrow E = 0$ （无源）和 $\nabla \cdot \overrightarrow H = 0$ ，有

$\frac{{\partial {E_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {E_y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {E_z}}}{{\partial z}} = 0$ => $\frac{{\partial {E_z}}}{{\partial z}} = 0$

$\frac{{\partial {H_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {H_y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {H_z}}}{{\partial z}} = 0$ => $\frac{{\partial {H_z}}}{{\partial z}} = 0$

再根据Ez和Hz的标量亥姆霍兹方程 ${\nabla ^2}{E_z} + {k^2}{E_z} = 0$ ， ${\nabla ^2}{H_z} + {k^2}{H_z} = 0$ ，可得到Ez=0, Hz=0

这表明E和H都没有沿传播方向的分量，即都与波的传播方向垂直，称为横电磁波（TEM波）

好了，现在已经得到z方向上电场和磁场Ez，Hz，剩下Ex，Ey，Hx，Hy，满足标量亥姆霍兹方程（ ${\nabla ^2}{E_x} + {k^2}{E_x} = 0$ ），有

$\frac{{{d^2}{E_x}}}{{d{z^2}}} + {k^2}{E_x} = 0,\frac{{{d^2}{E_y}}}{{d{z^2}}} + {k^2}{E_y} = 0$
$\frac{{{d^2}{H_x}}}{{d{z^2}}} + {k^2}{H_x} = 0,\frac{{{d^2}{H_y}}}{{d{z^2}}} + {k^2}{H_y} = 0$

四个方程都是二阶常微分方程，它们具有相同的形式，因而它们的解的形式也相同，通解为
${E_x}\left( z \right) = {E_{1m}}{e^{ - j(kz - {\varphi _1})}} + {E_{2m}}{e^{ - j(kz + {\varphi _2})}}$
写成瞬时表达式，则为
${E_x}\left( {z,{\rm{ }}t} \right) = Re[{E_x}\left( z \right){e^{j\omega t}}] = {E_{1m}}\cos (\omega t - kz + {\varphi _1}) + {E_{2m}}\cos (\omega t + kz + {\varphi _2})$

第一项代表沿+z方向传播的均匀平面波，第二项代表沿-z方向传播的均匀平面波。对于无界的均匀媒质中只存在沿一个方向传播的波，这里讨论沿正z方向传播的均匀平面波，即
$\overrightarrow {{E_x}} \left( z \right) = {\overrightarrow e _x}{E_{xm}}{e^{ - jkz}}{e^{j{\phi _x}}}$

$\overrightarrow {{E_x}} \left( {z,t} \right) = {\vec e_x}{E_{xm}}\cos \left( {\omega t - kz + {\phi _x}} \right)$

可见，场分量Ex(z,t)即是时间的周期函数，又是空间坐标的周期函数。ωt是时间相位，-kz是空间相位，φx是初始相位

沿一般方向的均匀平面波

现在不再限制均匀平面波一定要沿着z方向传播，一般地，设一个方向矢量 ${\vec r}$ ，有

$\overrightarrow E \left( {\vec r} \right) = {\overrightarrow E _m}{e^{ - j\vec k \cdot \vec r}} = {\overrightarrow E _m}{e^{ - j\left( {{k_x}x + {k_y}y + {k_z}z} \right)}}$

其中， ${\overrightarrow E _m}$ 是振幅矢量， ${e^{ - j\overrightarrow k \cdot \overrightarrow r }}$ 传播因子， $\overrightarrow k = {\overrightarrow e _n}k = {\overrightarrow e _x}{k_x} + {\overrightarrow e _y}{k_y} + {\overrightarrow e _z}{k_z}$ 波矢量

均匀平面波.png

总结它的传播特性

$\overrightarrow E ,{\rm{ }}\overrightarrow H ,{\rm{ }}{\overrightarrow e _n}$ 之间相互垂直，且成右旋关系，是TEM波，
电场与磁场的振幅不变
波阻抗为实数，电场与磁场同相位
相速与频率无关
电场能量密度等于磁场能量密度，即 $\frac{1}{2}\varepsilon {E^2} = \frac{1}{2}\mu {H^2}$
等相位面是垂直与 $\overrightarrow k$ 的平面，其方程为 $\overrightarrow k \cdot \overrightarrow r = {\mathop{\rm const}\nolimits}$

沿x方向极化的线极化波

来看一个特例，沿x方向的线极化波沿+z方向传播，且初始相位φ为0，即

$\overrightarrow E \left( z \right) = {\overrightarrow e _x}{E_{xm}}{e^{ - jkz}}$
写成瞬时表达式，则为
$\overrightarrow E \left( {z,t} \right) = {\overrightarrow e _x}{E_{xm}}\cos \left( {\omega t - kz} \right)$

由 $\nabla \times \overrightarrow E = - j\omega \mu \overrightarrow H$ ，有

$\overrightarrow H = - \frac{1}{{j\omega \mu }}\nabla \times \overrightarrow E = - {\overrightarrow e _y}\frac{1}{{j\omega \mu }}\frac{{\partial {E_x}}}{{\partial z}} = - {\overrightarrow e _y}\frac{1}{{j\omega \mu }}\frac{{\partial {E_{xm}}{e^{ - jkz}}}}{{\partial z}} = {\overrightarrow e _y}\frac{k}{{\omega \mu }}{E_{xm}}{e^{ - jkz}} = {\overrightarrow e _y}\sqrt {\frac{\varepsilon }{\mu }} {E_{xm}}{e^{ -jkz}} = {\overrightarrow e _y}\frac{1}{\eta }{E_{xm}}{e^{ - jkz}}$

由此可知，磁场与电场之间满足关系， $\overrightarrow H = \frac{1}{\eta }{\overrightarrow e _z} \times \overrightarrow E$
$\overrightarrow E \left( z \right) = \eta \overrightarrow H \left( z \right) \times {\overrightarrow e _z}$

坡印廷矢量 $\overrightarrow S = {\overrightarrow e _z}\frac{1}{\eta }{\left[ {{E_{xm}}\cos \left( {\omega t - kz} \right)} \right]^2}$ ，平均坡印廷矢量 ${\overrightarrow S _{av}} = {\overrightarrow e _z}\frac{{E_{xm}^{^2}}}{{2\eta }}$

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