电荷守恒定律

电荷与电荷分布

在电磁理论中，根据电荷分布的具体情况，电荷源模型分为体电荷、面电荷、线电荷和点电荷，分别用电荷体密度 $\rho$ 、电荷面密度 $\rho_S$ 和电荷线密度 $\rho_L$ 来描述电荷在空间体积、曲面和曲线中的分布。 $\rho(\vec{r}) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac { \Delta q }{\Delta V } = \frac{dq}{dV} \qquad C/m^3$ $\rho_S (\vec{r}) = \lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac { \Delta q }{\Delta S } = \frac{dq}{dS} \qquad C/m^2$ $\rho_l (\vec{r}) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac { \Delta q }{\Delta l } = \frac{dq}{dl} \qquad C/m$
"点电荷"是电荷分布的一种极限情况。当电荷q位于坐标原点是，其体密度 $\rho(\vec{r})=\lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{q}{\Delta V}= \{ ^{0 \qquad (r \not= 0时)} _{\infty \qquad (r = 0时)}$ 可用 $\delta$ 函数表示为 $\rho(\vec{r})=q \delta(\vec{r})$

电流与电流密度

在电磁理论中，电流源模型分为体电流、面电流和线电流，分别用电流密度 $\vec{J}$ 和面电流密度 $\vec{J_S}$ 来描述电流在截面上和厚度趋于零的薄膜上的分布。 $| \vec{J} | = \lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{\Delta i}{\Delta S} = \frac{di}{dS} \qquad A/m^2$ $| \vec{J_S} | = \lim_{\Delta l \rightarrow 0} \frac{\Delta i}{\Delta l} = \frac{di}{dl} \qquad A/m$

z电荷守恒定律

积分形式 $\oint_S \vec{J} \cdot d \vec{S} = - \frac{d}{dt} \int_V \rho d V$ 积分形式 $\nabla \cdot \vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0$

真空中的静电场方程

库仑定律

真空中，位于 $\vec{r_1}$ 处的点电荷 $q_1$ 对于位于 $\vec{r_2}$ 处的点电荷 $q_2$ 的作用力为 $\vec{F_{12}}=\vec{e_R} \frac{q_1 q_2 (\vec{r_1} - \vec{r_2})}{4 \pi \varepsilon _0 | \vec{r_1} - \vec{r_2}|} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon _0 R^3} \vec{R}$

电场强度

电场强度的定义

$\vec{E(r)}=\lim_{q_0 \rightarrow 0} \frac{\vec{F(r)}}{q_0}$

已知电荷分布求解静电场强度

点分布 $\vec{E(r)} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon _0} \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3}$
体密度分布 $\vec{E(r)} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon _0} \int_V \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3} \rho (\vec{r'})dV'$
面密度分布 $\vec{E(r)} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon _0} \int_S \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3} \rho_S (\vec{r'})dS'$
线密度分布 $\vec{E(r)} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon _0} \int_l \frac{\vec{r}-\vec{r'}}{|\vec{r}-\vec{r'}|^3} \rho_l (\vec{r'})dl'$

静电场方程

积分形式 $\oint_S \vec{E(r)} \cdot d \vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}$ $\oint_C \vec{E(r)} \cdot d \vec{l} = 0$
微分形式 $\nabla \cdot \vec{E(r)} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ $\nabla \times \vec{E(r)} = 0$

真空中的磁场方程

安培力定律

真空中，线电流回路 $C_1$ 对回路 $C_2$ 的磁场力为 $F_{12} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \oint_{C2} \oint_{C1} \frac{I_2d \vec{l_2} \times [I_1d \vec{l_1} \times \vec{r_2}-\vec{r_1}]}{|\vec{r_2}-\vec{r_1}|}$

磁感应强度

已知电流分布求解磁感应强度
线电流 $\vec{B(r)}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \oint_C \frac{I d \vec{l'} \times ( \vec{r_2} - \vec{r_1})}{|r-r'|}$
面电流 $\vec{B(r)}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_S \frac{\vec{J_S}(\vec{r'})\times(\vec{r}-\vec{r'})}{|r-r'|^3}dS'$
体电流 $\vec{B(r)}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_V \frac{\vec{J}(\vec{r'})\times(\vec{r}-\vec{r'})}{|r-r'|^3}dV'$

静磁场方程

积分形式 $\oint_S \vec{B(r)} \cdot d \vec{S} = 0$ $\oint_C \vec{B(r)} \cdot d \vec{l} = \mu_0 I$
微分形式 $\nabla \cdot \vec{B(r)} = 0$ $\nabla \times \vec{B(r)} =\mu_0 \vec{J(r)}$

电磁感应定律

积分形式 $\oint_C \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S}$
微分形式 $\nabla \times \vec{E} = - \frac{ \partial \vec{B} }{\partial t}$

位移电流密度

$\vec{J_d}=\frac{ \partial \vec{D}}{ \partial t}$
引入位移电流的概念后，安培环路定律修正为 $\oint_C \vec{H} \cdot d \vec{l} = \int_S (\vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{S}$

麦克斯韦方程组

积分形式

$\oint_C \vec{H} \cdot d \vec{l} = \int_S (\vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{S}$ $\oint_C \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{S}$ $\oint_S \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0$ $\oint_S \vec{D} \cdot d \vec{S} = q$

微分形式

$\nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{ \partial \vec{D}}{ \partial t }$ $\nabla \times \vec{E} = -\frac{ \partial \vec{B}}{ \partial t }$ $\partial \cdot \vec{B} = 0$ $\partial \cdot \vec{D} = \rho$

媒质的电磁特征方程

对于线性和各向同性媒质，场量之间的关系为 $\vec{D} = \varepsilon \vec{E}$ $\vec{B} = \mu \vec{H}$ $\vec{J} = \sigma \vec{E}$

电磁场的边界条件

边界条件的一般形式

$\vec{e_n} \times (\vec{H_1}-\vec{H_2}) = J_S$ $\vec{e_n} \times (\vec{E_1}-\vec{E_2}) = 0$ $\vec{e_n} \cdot (\vec{B_1}-\vec{B_2}) = 0$ $\vec{e_n} \cdot (\vec{D_1}-\vec{D_2}) = \rho_S$
式中 $\vec{e_n}$ 为媒质分界面法线方向的单位矢量，选定为离开分界面指向媒质1

两种理想介质分界面（ $\vec{J_S}=0,\rho_S =0$ ）的边界条件

$\vec{e_n} \times (\vec{H_1}-\vec{H_2}) = 0$ $\vec{e_n} \times (\vec{E_1}-\vec{E_2}) = 0$ $\vec{e_n} \cdot (\vec{B_1}-\vec{B_2}) = 0$ $\vec{e_n} \cdot (\vec{D_1}-\vec{D_2}) = 0$

理想导体的边界条件（设定媒质2为理想导体）

$\vec{e_n} \times \vec{H_1} = 0$ $\vec{e_n} \times \vec{E_1} = 0$ $\vec{e_n} \cdot \vec{B_1}= 0$ $\vec{e_n} \cdot \vec{D_1}= \rho_S$

第二章电磁场的基本规律

第二章电磁场的基本规律

电荷守恒定律

电荷与电荷分布

电流与电流密度

z电荷守恒定律

真空中的静电场方程

库仑定律

电场强度

电场强度的定义

已知电荷分布求解静电场强度

静电场方程

真空中的磁场方程

安培力定律

磁感应强度

静磁场方程

电磁感应定律

位移电流密度

麦克斯韦方程组

积分形式

微分形式

媒质的电磁特征方程

电磁场的边界条件

边界条件的一般形式

两种理想介质分界面（ $\vec{J_S}=0,\rho_S =0$ ）的边界条件

理想导体的边界条件（设定媒质2为理想导体）

推荐阅读更多精彩内容

第二章 电磁场的基本规律

电荷守恒定律

电荷与电荷分布

电流与电流密度

z电荷守恒定律

真空中的静电场方程

库仑定律

电场强度

电场强度的定义

已知电荷分布求解静电场强度

静电场方程

真空中的磁场方程

安培力定律

磁感应强度

静磁场方程

电磁感应定律

位移电流密度

麦克斯韦方程组

积分形式

微分形式

媒质的电磁特征方程

电磁场的边界条件

边界条件的一般形式

两种理想介质分界面（）的边界条件

理想导体的边界条件（设定媒质2为理想导体）

推荐阅读更多精彩内容

第二章电磁场的基本规律

两种理想介质分界面（ $\vec{J_S}=0,\rho_S =0$ ）的边界条件