问题描述

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.
For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.

问题分析

Lagrange 四平方定理： 任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和。
如果知道这个定理，就可以首先将答案限定在[1, 4]区间中，证明见链接。
但还需确定具体的解。有如下两条规则：

• 如果n可以被4整除，那么n/4和n是可以用相同个完全平方数表示的。
• 如果n可表示为4^a(8b+7)，那么n可表示为4个完全平方数之和。

但是我没有找到上面两条规则的证明……

在运用完上面两条规则后，再判断是1还是2，剩下的是3。

AC代码

数论方法：Runtime: 39 ms

class Solution(object):
    def numSquares(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        while n % 4 == 0:
            n /= 4
        if n % 8 == 7:
            return 4
        a = 0
        while a * a <= n:
            b = int((n - a * a) ** 0.5)
            if a * a + b * b == n:
                return 1 if a == 0 else 2
            a += 1
        return 3

动规方法：Runtime: 189 ms
动规需要注意：将规划数组作为一个类变量，每次增长它才能AC，如果每次重新计算规划数组，则TLE，参考了Discuss内容.

class Solution(object):
    d = [0]
    def numSquares(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        for i in  range(len(self.d), n+1):
            m = i
            j = 1
            while j * j <= i:
                if j * j == i:
                    m = 1
                    break
                if self.d[i-j*j] + 1 < m:
                    m = self.d[i-j*j] + 1
                j += 1
            self.d.append(m)

        return self.d[n]