金融模型——AHP比较矩阵的最大特征值对应的特征向量是权重向量的数学推导

简介

最近在解决一些定性的问题，这些问题很难定量化，所以想到了层次分析法，在梳理层次分析法时，发现了一个问题，几乎所有的文档都直接给出比较矩阵的特征向量就是权重向量,没有在数学上给出证明，感觉这个结论很想当然，本文在数学上对这个结论进行推导。

比较矩阵

我们在处理定性问题时，通常要考虑很多因素，这些因素很难定量刻画，但是我们又需要知道每个因素对我们目标的影响权重，这种情况下就可以使用层次分析法，定性问题定量化。

如果不使用层分析法，实际影响因素的权重是定性给出的，可能极不合理，所以，我们要用定量的方法（层次分析法）刻画这个定性的过程，使在定性的过程中合情合理，层次分析采用了两两因素之间比较重要性，构造比较矩阵的方式，使定性问题定量化。

比较矩阵的构造

对一个比较矩阵A，其元素 $a_{i,j}$ 表示第i个因素比第j个因素的重要性，其取值和对应的意义如下：

数值	含义
1	两个因素相比，具有相同的重要性
3	两个因素相比，前面的因素比后面的因素稍微重要
5	两个因素相比，前面的因素比后面的因素明显重要
7	两个因素相比，前面的因素比后面的因素强烈重要
9	两个因素相比，前面的因素比后面的因素极端重要
2，4，6，8	上面两个相邻判断的中值
倒数	因素i和因素j的比较值为 $a_{i,j}$ ,那么因素j和因素i的比较值为 $1/ a_{i,j}$

比较矩阵的性质

由上面的比较矩阵的构造可以看出比较矩阵有如下性质：
比较矩阵一定是正互反矩阵，即 $a_{i,j}=\frac{1}{a_{j,i}}$ ,其中 $a_{i,j}>0$ .

一致矩阵

一致矩阵的定义

对于矩阵A，如果 $a_{i,j}>0$ , 且 $a_{i,k}a_{k,j}=a_{i,j}$ ,则称矩阵A为一致矩阵。

一致矩阵的性质

由一致矩阵的定义可以得到以下性质：
1、一致矩阵的对角线都是1.
2、一致矩阵的秩等于1.
3、秩等于1的正互反矩阵一定是一致矩阵。
4、一致矩阵一定是正互反矩阵。

对于以上性质的证明用到以下定律：
A为一致性矩阵的充分必要条件是，存在正向量 $W=(w_1,w_2,w_3....w_n)$ ，有 $a_{i,j}=\frac{w_i}{w_j}$ （其中 $w_j>0$ ），下面先对这个定理进行证明。

证明：

充分性：若对于矩阵A，有 $a_{i,j}=\frac{w_i}{w_j}$ （其中 $w_j>0$ ）。则：

$a_{i,k}a_{k,j}=\frac{w_i}{w_k}\frac{w_k}{w_j}=\frac{w_i}{w_j}=a_{i,j}$

所以A是一致性矩阵。

必要性：若A是一致性矩阵，有 $a_{i,k} a_{k,j} = a_{i,j}$ ,取i=j,得到： $a_{i,i}=1$

所以对角线上元素为1。

又 $a_{i,k} = \frac{ a_{i,j}}{a_{k,j}}$

令i=j得到：
$a_{j,k}= \frac{ 1}{a_{k,j}}$

所以，一致矩阵是正互反矩阵。

又 $a_{i,j}=a_{i,k} a_{k,j}$ ，所以：

$a_{i,j}=\frac{a_{i,k}} {a_{j,k}}$

取k=1,有：
$a_{i,j}=\frac{a_{i,1}} {a_{j,1}}$

所有取 $W=(a_{1,1},a_{2,1}，a_{3,1}，...a_{n,1})$ ,且有：
$W^TW_1=A$

其中 $W_1=(\frac{1}{ a_{1,1}},\frac{1}{ a_{2,1}}，\frac{1}{ a_{3,1}}，...\frac{1}{ a_{n,1}})$

所以必要性得到证明。

所以上面的性质1,2,3,4得到证明。

比较矩阵的特征向量是权重向量的数学推导

一致性矩阵下面的证明

我们从问题出发，我们现在想要得到的是，各因素对目标影响的权重向量。设这个向量为 $W=(w_1,w_2,w_3....w_n)$

先来看看这个向量的含义，这个向量中每个元素含义是对应于每个因素对目标的影响权重.

所以，我们可以直接从这个权重向量来构造比较矩阵。显然第i个因素对第j个因素的比较值为 $\frac{w_i}{w_j}$

所以比较矩阵为 $A=(\frac{w_i}{w_j})_{nxn}$

所以我们只需要证明，A的特征向量就是W。

证明：
$AW=(\frac{w_i}{w_j})_{nxn}(w_1,w_2,...w_n)^T=nW$

所以，W是A的属于特征值n的特征向量，因为A的秩为1，所以A只有一个特征值，所以，比较矩阵的特征向量就是权重向量。

上面只证明了完全一致性矩阵的情况。对于有满意的一致性的矩阵的情况，我们只需证明正互反矩阵可以唯一分解成标准形和一致矩阵的 hadamard乘积即可。有下面定理。

有满意的一致性的非一致矩阵的证明

hadamard乘积定义

设 $A=(a_{i,j})_{nxn},B=(b_{i,j})_{nxn}$ ,定义 $A○B=(a_{i,j}·b_{i,j})_{nxn}$ ，为矩阵A与矩阵B的hadamard乘积定义。

标准型定义

标准型I：如E是一个正互反矩阵，如果对任意的i,k 有 $\sum_{j=1}^ne_{i,j}=\sum_{j=1}^ne_{k,j}$ 。

谱半径定义

对于一个矩阵A，谱半径 $\rho(A)$ 定义为所有特征值的模的最大值。

hadamard分解定理

对任意的正互反矩阵A，有唯一的hadamard分解，即 $A=W_1oE_1$ ,其中 $W_1=(\frac{w_i}{w_j})_{nxn}$ 为一致矩阵。 $E_1$ 为标准型I. $w_i$ 为一致性矩阵 $W_1$ 的特征向量, $\sum w_i=1$

证明：设A的属于特征值 $\lambda$ 的归一化后的特征向量为 $w=(w_1,w_2,....w_n)$

因为 $a_{i,j}=\frac{w_i}{w_j}\frac{w_j}{w_j} a_{i,j}$

所以
$A=(\frac{w_i}{w_j})_{nxn}o (\frac{w_j}{w_i} a_{i,j})_{nxn}$

令 $W_1=(\frac{w_i}{w_j})_{nxn} ,E_1 =(\frac{w_j}{w_i} a_{i,j})_{nxn}$

对于 $W_1$ , $w=(w_1,w_2,....w_n)$ 刚好是其特征向量，且是一致矩阵。（上面已经证明）

对于矩阵 $E_1$ ，设 $e_{i,j}=\frac{w_j}{w_i} a_{i,j}$ ,则：

$e_{i,j}=\frac{w_j}{w_i} a_{i,j}= \frac{w_j}{w_ia_{j,i} } =\frac{1}{e_{j,i}}$

所以 $E_1$ 也是一个正互反矩阵。

且有： $A=diag(w_1,w_2...w_n)E_1 diag(w_1,w_2...w_n)^{-1}$

所以，A与 $E_1$ 相似。所以A与 $E_1$ 有相同的特征值。

对于 $\sum_{j=1}^n\frac{w_j}{w_i} a_{i,j}与\sum_{j=1}^n\frac{w_j}{w_k} a_{k,j}$

因为A的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量为 $w=(w_1,w_2,....w_n)$

所以：
$\sum_{j=1}^n\frac{w_j}{w_i} a_{i,j}=\frac{\sum_{j=1}^n w_j a_{i,j} }{w_i} = \lambda \frac{w_i}{w_i}=\lambda$

所以：
$\sum_{j=1}^n\frac{w_j}{w_i} a_{i,j}=\sum_{j=1}^n\frac{w_j}{w_k} a_{k,j}=\lambda$

所以， $E_1$ 时标准型I。

再证唯一性。

这里只需要证明， $\lambda$ 是A的最大特征值，且是A的单特征根，加上 $w$ 是归一化之后的，我们就可以唯一的确定 $w$ ，从而唯一的确定 $W_1$ ,从而唯一的确定hadamard分解。

前面我们证明了，A和 $E_1$ 是相似的， $E_1$ 也是正互反矩阵，我们只要证明 $E_1$ 的最大特征值是 $\lambda$ 即可。

对于一个正矩阵 $B=(b_{i,j})_{nxn}$ ，有其下性质（这里不给出证明）：
1、最大特征值一定为正,且一定是单特征根。
2、其谱半径 $\rho(A)$ 的范围如下：
$\min_i \sum_{j=1}^nb_{i,j} \le \rho(B) \le \max_i \sum_{j=1}^nb_{i,j}$