记录一个自己还没有完成的LaTeX代码，第一次自己写也是边写边改，边改边学。

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\title{乘积季节性$ARIMA$模型}

\author{王子伦}

\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\section{引言}

{\songti 在本节中，我们介绍了对ARIMA模型进行的若干修改，以说明季节性和非平稳行为.\par 通常，对过去的依赖倾向于在某些潜在季节性滞后的倍数下发生最强烈.例如，根据月度经济数据，由于所有活动与日历年的紧密联系，每年有一个强大的成分出现在s = 12的倍数滞后。每季度采集的数据将显示s = 4的年度重复周期。 4个季度。 温度等自然现象也具有与季节相对应的强烈成分。因此，许多物理，生物和经济过程的自然变化趋向于与季节性波动相匹配.

\par 因此，引入识别季节性滞后的自回归和移动平均多项式是合适的。 由此产生的纯季节性自回归滑动平均模型，例如ARMA（P，Q）s，就采用了这种形式.}

\section{季节移动平均($ MA $)模型}

首先我们考虑一阶季节$MA$模型，考虑下式生成的序列 : $$ y_t=\varepsilon _t + \theta \varepsilon _{t-12} $$

我们可以计算自协方差函数，分别是 \\

$ \gamma \left(i \right) = Cov\left(y_t,y_{t-i} \right) = Cov\left(\varepsilon _t + \theta \varepsilon _{t-12} , \varepsilon _{t-i} + \theta \varepsilon _{t-12-i} \right) = 0 , i = 1,2,\ldots,11 $

\hspace*{17pt} $ \gamma \left(12 \right) = Cov\left(y_t,y_{t-12} \right) = Cov\left(\varepsilon _t + \theta \varepsilon _{t-12} , \varepsilon _{t-12} + \theta \varepsilon _{t-24} \right) = \theta \sigma ^ 2 _ {\varepsilon} $ \\

\par 所以我们可以看出，序列 $ {y_t} $ 平稳且仅在延迟12期才具有非零自相关函数.

%书上3.12定义，P155！

\begin{defi}{$ \left( 3.12 \right) $}

现在我们可以写出有如下结构的模型，是一个\uline{季节周期为s的q阶季节$MA$模型},简记为$ MA\left(Q \right) _ s $

$$ y_t = \varepsilon _ t - \theta _ 1 \varepsilon _ {t-s} - \theta _ 2 \varepsilon _ {t-2s} - \ldots - \theta _ Q \varepsilon _ {t-Qs} $$

\par 其\dotuline{季节移动平均系数多项式}（seasonal moving average operator）为$$ \Theta_Q\left(B^s\right) = 1 + \theta_1 B^s + \theta_2 B^{2s} + \ldots + \theta_Q B^{Qs} $$

\end{defi}

\section{季节自回归($ AR $)模型}

类似于上面的$ MA\left(q\right)_s $模型，我们考虑 $$ y _ t = \phi y _ {t-12} + \varepsilon _ t $$

其中，$ \left | \phi \right | < 1 $ , 且 $ \varepsilon _t $ 与 $ y _ {t-i} \left(i = 1,2,3,\ldots \right) $ 独立，$ \left | \phi \right | < 1 $ 保证了\emph{平稳性},而且显然$E\left(y _ t \right) = 0 $ .上式两边同乘$ y _ {t-k} $ 取期望后，再除以$ \gamma \left( 0 \right) $ 得到 $$ \rho\left(k \right) = \phi \rho \left(k - 12\right) ,\hspace*{10pt} k \geq 1 $$

我们把$ k = 12 $ 以及12的倍数倍$ 12k $ 带入之后得到  $$ \rho\left(12\right) = \phi \rho\left(0\right) = \phi , \rho\left(24\right) = \phi \rho\left(12\right) = \phi ^ 2 , \ldots , \rho\left(12k\right) = \phi ^ k , \ldots $$  在把$ k = 1 $ 和 $ k = 11 $ ，由$ \rho\left( k \right) = \rho\left( -k \right) $ 得到 $$ \rho\left( 1 \right) =\phi \rho\left( 11 \right) \hspace*{1cm} \rho\left( 11 \right) = \phi \rho\left( 1 \right) $$ 

从而 $ \rho\left( 1 \right) = \rho\left( 11 \right) = 0 $ . 类似可证除了季节滞后12，24，36... 处之外，$ \rho \left( k \right) $ 全部为零，而滞后12，24，36... 期的自相关函数表现出类似$ AR\left( 1 \right) $ 模型的指数衰减.

%书上3.12定义，P155！

\begin{defi}{$ \left( 3.12 \right) $}

现在我们可以写出有如下结构的模型，是一个\uline{季节周期为s的P阶季节 $AR$ 模型},简记为$ AR\left(P \right) _ s $ $$ y_t = \varepsilon _ t + \phi _ 1 y _ {t-s} + \phi _ 2 y _ {t-2s} + \ldots + \phi _ p y _ {t-Ps} $$ 其\dotuline{季节自回归系数多项式}（seasonal seasonal autoregressive operator）为 $$ \Phi_P\left(B^s\right) = 1 - \phi_1 B^s - \phi_2 B^{2s} - \ldots - \phi_P B^{Ps} $$

\end{defi}

若$ \phi\left( 0 \right) = 0 $ 的全部根的绝对值均大于1，则该模型为\emph{平稳的},上述模型可以看做一个阶数为$ ps $ 的特定$ AR\left(p\right) $模型，仅在滞后$ s,2s,\ldots,ps $ 处才有非零的$ \phi $ 系数.

\section{乘积季节自回归移动平均($ARMA$)模型}

我们将上面的两个模型加以整合，可以构造出既包括季节延迟自相关又包括低阶临近延迟自相关的简约模型——乘积季节模型.

\par 考虑一个MA模型，其系数多项式如下：$$ \left( 1 + \theta B \right)\left( 1 + \Theta B ^ {12} \right) = 1 + \theta B + \Theta B ^ {12} + \theta \Theta B ^ {13} $$ 对应的时间序列模型为 $$ y _ t = \varepsilon _ t + \theta \varepsilon _ {t-1} + \Theta \varepsilon _ {t-12} + \theta \Theta \varepsilon _ {t-13} $$ 我们现在来验证一下此模型的ACF仅在延迟后$ 1,11,12,13 $ 期非零，即 $$ \rho\left( 0 \right) = \left( 1 + \theta ^ 2 \right) \left( 1 + \Theta ^ 2 \right) \sigma ^ 2 _ {\varepsilon} $$

\par $ \rho\left( 1 \right) = \dfrac{\theta}{1 + \theta ^ 2} $\hspace*{3pt},\hspace*{3pt}$ \rho\left( 12 \right) = \dfrac{\Theta}{1 + \Theta ^ 2} $\hspace*{3pt},\hspace*{3pt}$ \rho\left( 11 \right) = \rho\left( 13 \right) = \dfrac{\theta \Theta}{\left(1 + \theta ^ 2\right) \left(1 + \Theta ^ 2\right)} $.

\begin{defi}{$ \left( 3.142 \right) $}

我们利用这个思想，可以构造一类乘积季节模型，我们这里可以构造\uline{季节周期为s的乘积季节 $ ARMA\left( p,q \right) \times \left( P,Q \right) _ s $ 模型} : $$ \Phi _ P \left( B ^ s \right) \phi \left( B \right) x _ t = \Theta _ Q \left( B ^ s \right) \theta \left( B \right) \omega _ t $$

\end{defi}

\begin{example}{3.41 (A Mixed Seasonal Model)}

我们先看一个$ ARMA\left( 0,1 \right) \times \left( 1,0 \right) _ {12} $ 模型:$$ x_t = \Phi x _ {t-12} + \omega _ t + \theta \omega _ {t-1} $$ 我们计算他的$ \gamma (h) $ 以及 $ \rho (h) $ :

$$ \gamma (1) = \Phi \gamma (11) - \theta \sigma ^ 2 _ {\varepsilon} $$ 且 $$ \gamma (h) = \Phi \gamma  (h - 12) , \hspace*{6pt} h \geq 2 $$ 然后得到 $$ \gamma (0) =(\dfrac{1 + \theta ^ 2}{1 - \Phi ^ 2})\sigma ^ 2 _ {\omega} $$ 然后计算ACF:  $$ \rho (12h) = \Phi ^ h $$ $$ \rho (12h - 1) = \rho (12h + 1) = \dfrac{\theta}{1 + \theta ^ 2} \Phi ^ h $$ $$ \rho (h) = 0 \hspace*{3pt},\hspace*{3pt} otherwise $$

\par 接下来我们举个例子，然后使用$ \textbf{R} $语言去研究一下他的$ACF$与$PACF$的拖尾截尾性，从而发现一般季节时间序列的特征与相似之处，我们令$ \theta = - 0.5 $，$ \Phi = 0.8 $，然后我们在 $ \textbf{R} $语言中输入如下指令

\begin{lstlisting}[language = R, numbers=left,

        numberstyle=\tiny,keywordstyle=\color{blue!70},

        commentstyle=\color{red!50!green!50!blue!50},frame=shadowbox,

        rulesepcolor=\color{red!20!green!20!blue!20},basicstyle=\ttfamily]

> phi = c(rep(0,11),.8)

> acf = ARMAacf(ar=phi, ma=-.5, 50)

> pacf = ARMAacf(ar=phi, ma=-.5, 50, pacf=T)

> par(mfrow=c(1,2))

> plot(acf, type="h", xlab="lag")

> abline(h=0)

> plot(pacf, type="h", xlab="lag")

> abline(h=0)

\end{lstlisting}

结果如下图所示

\begin{figure}[h] %figure环境，h默认参数是可以浮动，不是固定在当前位置。如果要不浮动，可以使用大写float宏包的H参数，固定图片在当前位置，禁止浮动。

    \centering %使图片居中显示

    \includegraphics[width=1\textwidth]{plotzoom} %中括号中的参数是设置图片充满文档的大小，可以使用小数来缩小图片的尺寸。

    \caption{$ (3.21) \ ACF \ and \ PACF \ of \ mixed \ SARMA \ model $} %caption是用来给图片加上图题的

    \label{plotzoom} %这是添加标签，方便在文章中引用图片。

\end{figure}%figure环境

首先自相关图并不会截尾，而是在延迟$ 12k - 1 $，$ 12k $和$ 12k + 1 $快速衰减。现在我们按照年份来对比数据的ACF会发现ACF有缓慢下降的趋势，然后我们减去连续几年之间的影响，我们会发现$$ (1 - B ^ {12})x _ t = x _ t - x _ {t - 12} = v _ t + \omega _ t - \omega _ {t - 12} $$

\end{example}

\section{乘积季节求和自回归移动平均($ARIMA$)模型}

我们来看一个新的差分，叫做\textbf{季节差分}，季节差分是非平稳季节序列建模的一个重要的工具.设s是一个季节时间序列$ \left \{ x _ t \right \} $的季节周期，则它的季节差分为$$ \triangledown _ s x _ t = (1 - B ^ s) x _ t = x _ t - x _ {t-s} $$

\par 对于一些非平稳的时间序列来讲，经过d阶差分和D阶季节差分后，可以变成平稳的时间序列$ \left \{ y _ t \right \} $，即 $$ y _ t = \triangledown ^ d \triangledown ^ D _ s x _ t $$

\begin{defi}{(3.13) The multiplicative seasonal autoregressive integrated

moving average model, or SARIMA model, of Box and Jenkins}

\par 若$ \left \{ y _ t \right \} $满足季节周期为$ s $的$ ARMA\left( p,q \right) \times \left( P,Q \right) _ s $模型，那么称$ \left \{ x _ t \right \} $为季节周期为$ s $、非季节阶数为$ p,d,q $、季节阶数为$ P,D,Q $的乘积季节求和自回归移动平均模型，记作$ ARIMA\left( p,d,q \right) \times \left( P,D,Q \right) _ s $，即 $$ \Phi _ P (B ^ s) \phi (B) \triangledown ^ d \triangledown ^ D _ s x _ t = \alpha + \Theta _ Q (B ^ s) \theta (B) \omega _ t $$ 其中$ \omega _ t $是高斯白噪声过程，$ \alpha $ 是常数，$ \phi (B) $ 和 $ \theta (B) $分别是AR系数多项式和MA系数多项式；$ \Phi (B) $ 和 $ \Theta (B) $分别是季节AR系数多项式和季节MA系数多项式.

\end{defi}

\section{实例：美国联邦储备委员会生产指数分析}

\end{document}

后天回来继续完成这个实例的R语言实现分析。