线性代数——向量

1. 向量组及其线性组合

定义 1 $n$ 个有次序的数 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ 所组成的数组称为 $n$ 维向量，这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量，第 $i$ 个数 $a_{i}$ 称为第 $i$ 个分量。

$n$ 维向量可写成一行或者一列，分别称为行向量与列向量，也就是行矩阵和列矩阵。
$n$ 维列向量
$a=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\\ \end{pmatrix}$
与 $n$ 维行向量
$a^{T} = \begin{pmatrix} a_{1} , a_{2} , ... , a_{n}\\ \end{pmatrix},$
总看做是两个不同的向量。

定义 1 给定向量组 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ ，对于任何一组实数 $k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}$ ，表达式 $k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\cdots +k_{m}a_{m}$ 称为向量组 $A$ 的一个线性组合， $k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}$ 称为这个线性组合的系数。

定义 2 给定向量组 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 和向量 $b$ ，如果存在一组数 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots ,\lambda_{m}$ ，使 $b=\lambda_{1}a_{1}+\lambda_{2}a_{2}+\cdots +\lambda_{m}a_{m}$ 则向量 $b$ 是向量组 $A$ 的线性组合，这时称向量 $b$ 能由向量组 $A$ 线性表示。

定理 1 向量 $b$ 能由向量组 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $A=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m})$ 的秩等于矩阵 $B=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m},b)$ 的秩。

定义 3 设有两个向量组 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 及 $B:b_{1},b_{2},\cdots ,b_{l}$ ，若 $B$ 组中的每个向量都能由向量组 $A$ 线性表示，则称向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示。若向量组 $A$ 与向量组 $B$ 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

定理 2 向量组 $B:b_{1},b_{2},\cdots ,b_{l}$ 能由向量组 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $A=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m})$ 的秩等于矩阵 $(A,B)=(a_{1},\cdots ,a_{m},b_{1},\cdots ,b_{l})$ 的秩，即 $R(A)=R(A,B)$

推论向量组 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 与向量组 $B:b_{1},b_{2},\cdots ,b_{l}$ 等价的充分必要条件是 $R(A) = R(B)= R(A,B)$ ，其中 $A,B$ 是向量组 $A$ 和 $B$ 组成的矩阵。

定理 3 设向量组 $B:b_{1},b_{2},\cdots ,b_{l}$ 能由向量组 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 线性表示，则 $R(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{l}) \leqslant R(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m})$

定理 4 向量 $\beta$ 能由向量组 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}$ 线性表示出 $\Leftrightarrow 非齐次线性方程组[a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}]\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{s} \end{bmatrix}=\beta有解\\ \Leftrightarrow 秩 r[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}] = r[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}, \beta]$

2. 向量组的线性相关性

定义 1 给定向量组 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ ，如果存在不全为0的数 $k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}$ ，使 $k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\cdots +k_{m}a_{m}=0$ 则称向量组 $A$ 是线性相关的，否则称它线性无关。

向量组 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}(m \geqslant 2)$ 线性相关，也就是在向量组 $A$ 中至少有一个向量能由其余 $m-1$ 个向量线性表示。

定理 1 向量组 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 $A=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m})$ 的秩小于向量个数 $m$ ，向量组 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 线性无关的充分必要条件是 $R(A)=m$ 。

定理 2 (1) 若向量组 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 线性相关，则向量组 $B:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m},a_{m+1}$ 也线性相关。反言之，若向量组 $B$ 线性无关，则向量组 $A$ 也线性无关。
(2) $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，当维数 $n$ 小于向量的个数 $m$ 时一定线性相关。特别的， $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关。
(3) 设向量组 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 线性无关，而向量组 $B:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m},b$ 线性相关，则向量 $b$ 必能由向量组 $A$ 线性表示，且表示式是惟一的。

推论若向量组 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 线性无关 $\Rightarrow$ 延伸组 $\tilde{a}_{1},\tilde{a}_{2},\cdots ,\tilde{a}_{m}$ 线性无关
若 $\tilde{a}_{1},\tilde{a}_{2},\cdots ,\tilde{a}_{m}$ 线性相关 $\Rightarrow$ 缩短组 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 线性相关
（向量组 $a_{1} = [a_{11}, a_{21},\cdots, a_{r1}]^{T}$ ， $\tilde{a}_{1} = [a_{11}, a_{21},\cdots, a_{r1},\cdots, a_{s1}]$ ，其中 $s\geqslant r$ ，称 $\tilde{a}_{1}$ 为 $a_{1}$ 的延伸组（或称 $a_{1}$ 为 $\tilde{a}_{1}$ 的缩短组））

定理 3 如果向量组 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}$ 可由向量组 $b_{1},b_{2},\cdots ,b_{t}$ 线性表示，而且 $s>t$ ，那么 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}$ 线性相关。即如果多数向量组能由少数向量组线性表示，那么多数向量一定线性相关。

推论若向量组 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 线性无关，且它可由 $b_{1},b_{2},\cdots ,b_{t}$ 线性表示，则 $s\leqslant t$ 。

定理 4 向量组 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}$ 线性相关 $\Leftrightarrow 齐次线性方程组[a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}]\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{s} \end{bmatrix}=0有非零解\\ \Leftrightarrow 向量组的秩 r[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}] < s \\ \Leftrightarrow 行列式 |a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}|=0$

3. 向量组的秩

略

4. 线性方程组解的结构

定义 1 下列三种变换称为线性方程组的初等变换：
(1) 用一个非零常数项乘方程的两边
(2) 把某方程的 $k$ 倍加到另一个方程上
(3) 互换两个方程的位置
线性方程组经初等变换化为阶梯型方程组后，每个方程中的第一个未知量通常称为主变量，其余的未知量称为自由变量。

定义 2 向量组 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$ 称为齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系，如果：
(1) $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$ 是 $Ax=0$ 的解
(2) $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$ 线性无关
(3) $Ax=0$ 的任一解均可由 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$ 线性表示

定义 3 如果 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一组基础解系，那么对于任意常数 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{t}$ ， $c_{1}\eta_{1}+ c_{2}\eta_{2}+ \cdots+ c_{t}\eta_{t}$ 是齐次方程组 $Ax=0$ 的通解。

定理 1 设齐次线性方程组 $Ax=0$ 系数矩阵的秩 $R(A) = r < n$ ，则 $Ax=0$ 的基础解系有 $n-R(A)$ 个线性无关的解向量构成。

定理 2 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有解的充分必要条件是其系数矩阵和增广矩阵的秩相等，及 $R(A) = R(A,b)$
若 $R(A) = R(A,b) = n$ ，则方程组有唯一解
若 $R(A) = R(A,b) < n$ ，则方程组有无穷多解

非齐次线性方程组 $Ax=b$ 无解 $\Leftrightarrow R(A) +1 = R(A,b)\\ \Leftrightarrow b不能由A 的列向量线性表示出$

定理 3 对非齐次线性方程组 $Ax=b$ ，若 $R(A) = R(A,b) = r$ ，且已知 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r}$ 是导出组 $Ax=0$ 的基础解系， $\xi_{0}$ 是 $Ax=b$ 的某个已知解，则 $Ax=b$ 的通解为 $\xi_{0} + c_{1}\eta_{1}+ c_{2}\eta_{2}+ \cdots+ c_{n-r}\eta_{n-r}$ 其中 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n-r}$ 为任意常数。

5. 向量空间

定义 1 设 $V$ 为 $n$ 维向量的集合，如果集合 $V$ 非空，且集合 $V$ 对于向量的加法和乘数都封闭，那么就称集合 $V$ 为向量空间。
所谓封闭，是指在集合 $V$ 中可以进行向量的加法及乘数两种运算。具体的说，就是：若 $a\in V,b\in V$ ，则 $a+b\in V$ ；若 $a\in V,\lambda\in R$ ，则 $\lambda a\in V$ 。

定义 2 设 $V$ 为向量空间，如果 $r$ 个向量 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r} \in V$ ，且满足
(i) $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ 线性无关
(ii) $V$ 中任一向量均可由 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ 线性表示
那么向量组 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ 就称为向量空间 $V$ 的一个基， $r$ 称为向量空间 $V$ 的维数，并称 $V$ 为 $r$ 维向量空间。

定义 3 如果在向量空间 $V$ 中取定一个基 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ ，那么 $V$ 中任一向量 $x$ 可唯一的表示为 $x=\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\cdots +\lambda _{r}a_{r}$
数组 $\lambda _{1},\lambda _{2}, \cdots,\lambda _{r}$ 称为向量 $x$ 在基 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ 中的坐标。

6. 向量的内积、长度及正交性

定义 1 设有 $n$ 维向量
$x=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}， y=\begin{pmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}$
令 $\left [ x,y \right ] = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}+ \cdots + x_{n}y_{n}$
$\left [ x,y \right ]$ 称为向量 $x$ 与 $y$ 的内积。

内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。如果用矩阵表示：当 $x,y$ 都是列向量时，有 $\left [ x,y \right ] =x^{T}y$ 。

内积具有下列性质（其中 $x,y,z$ 为 $n$ 维向量， $\lambda$ 为实数）
(i) $\left [ x,y \right ]=\left [ y,x \right ]$
(ii) $\left [ \lambda x,y \right ]=\lambda \left [ x,y \right ]$
(iii) $\left [ x+y,z \right ]=\left [ x,z \right ] + \left [ y,z \right ]$
(iv) 当 $x=0$ 时， $\left [ x,x \right ]=0$ ；当 $x\neq 0$ 时， $\left [ x,x \right ]>0$ ；

在解析几何中，向量的数量积表示为 $x\cdot y = |x||y|cos\theta$ 且在直角坐标系中有 $(x_{1},x_{2}, x_{3})\cdot (y_{1},y_{2}, y_{3})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}$
$n$ 维向量的内积是数量积的一种推广。

定义 2 令
$\left \| x \right \| = \sqrt{\left [ x,x \right ]}=\sqrt{x_{1}^{2}+{x_{2}^{2}}+\cdots +{x_{n}^{2}}}$
$\left \| x \right \|$ 称为 $n$ 维向量 $x$ 的长度（或范数）。
当 $\left \| x \right \| =1$ 时，称 $x$ 为单位向量。

定理 1 若 $n$ 维向量 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ 是一组两两正交的非零向量，则 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ 线性无关。

定义 3 设 $n$ 维向量 $e_{1},e_{2},\cdots ,e_{r}$ 是向量空间 $V(V \in R^{n})$ 的一个基，如果 $e_{1},e_{2},\cdots ,e_{r}$ 两两正交，且都是单位向量，则称 $e_{1},e_{2},\cdots ,e_{r}$ 是 $V$ 的一个规范正交基。

定义 4 如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{T}A=E \qquad (即A^{-1}=A^{T})$ 那么称 $A$ 为正交矩阵，简称正交阵。
上式用 $A$ 的列向量来表示，即是
$\begin{pmatrix} a_{1}^{T}\\ a_{2}^{T}\\ \vdots\\ a_{n}^{T}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{1} , a_{2} , ... , a_{n}\\ \end{pmatrix}=E$
亦即 $(a_{i}^{T}a_{j})=(\delta_{ij})$
这也就是 $n^{2}$ 个关系式 $a_{i}^{T}a_{j}=\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1, i=j\\ 0, i\neq j \end{matrix}\right. \qquad (i,j=1,2,\cdots,n)$
于是可以得出：方阵 $A$ 为正交阵的充分必要条件是 $A$ 的列向量都是单位向量，且两两正交。

正交矩阵具有下述性质：
(i) 若 $A$ 为正交阵，则 $A^{-1}=A^{T}$ 也是正交阵，且 $|A|=1$ 或（-1）
(ii) 若 $A,B$ 都是正交阵，则 $AB$ 也是正交阵。

定义 5 若 $P$ 为正交阵，则线性变换 $y=Px$ 称为正交变换。
正交变换线段长度保持不变。

6. 方阵的特征值与特征向量

定义 1 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量 $x$ 使关系式 $Ax=\lambda x \tag{1}$ 成立，那么，这样的数 $\lambda$ 称为矩阵 $A$ 的特征值，非零向量 $x$ 称为矩阵 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

$(1)$ 式也可写成 $(A-\lambda E)x=0$ 这是 $n$ 个未知数 $n$ 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 $|A-\lambda E|=0$ 即
$\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda\\ \end{vmatrix}=0$
上式是以 $\lambda$ 为未知数的一元 $n$ 次方程，称为矩阵 $A$ 的特征方程，其左端 $|A-\lambda E|$ 是 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，记作 $f(\lambda)$ ，称为矩阵 $A$ 的特征多项式。

设 $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值为 $\lambda _{1},\lambda _{2}, \cdots,\lambda _{n}$ ，则有
(i) $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots+\lambda _{n}=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$
(ii) $\lambda _{1} \lambda _{2} \cdots \lambda _{n}=|A|$

推论若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda^{k}$ 是 $A^{k}$ 的特征值； $\varphi (\lambda )$ 是 $\varphi (A )$ 的特征值（其中 $\varphi (\lambda )=a_{0}+a_{1}\lambda +\cdots +a_{m}\lambda^{m}$ 是 $\lambda$ 的多项式， $\varphi (A)=a_{0}E+a_{1}A +\cdots +a_{m}A^{m}$ 是 $A$ 的多项式）。

定理 1 设 $\lambda _{1},\lambda _{2}, \cdots,\lambda _{m}$ 是方阵 $A$ 的 $m$ 个特征值， $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{m}$ 是与之对应的特征向量，如果 $\lambda _{1},\lambda _{2}, \cdots,\lambda _{m}$ 各不相等，则 $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{m}$ 线性无关。

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7. 相似矩阵

定义 1 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP=B$ 则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，或说矩阵 $A$ 与 $B$ 相似。对 $A$ 进行运算 $P^{-1}AP$ 称为对 $A$ 进行相似变换，可逆矩阵 $P$ 称为把 $A$ 变成 $B$ 的相似变换矩阵。

定理 1 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同，从而 $A$ 与 $B$ 的特征值亦相同。

推论 1 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵
$\Lambda =\begin{pmatrix} \lambda _{1} & & & \\ & \lambda _{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda _{n} \end{pmatrix}$
相似，则 $\lambda _{1},\lambda _{2}, \cdots,\lambda _{n}$ 即是 $A$ 的 $n$ 个特征值。

推论 2 设 $f(\lambda)$ 是矩阵 $A$ 的特征多项式，则 $f(A)=0$ 。
提示：因为对角阵的特征多项式 $f(\lambda_{i})=0$

定理 2 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角阵相似（即 $A$ 能对角化）的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

推论 3 如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等，则 $A$ 与对角阵相似。

8. 对称矩阵的对角化

定理 1 对称阵的特征值为实数。

定理 2 设 $\lambda_{1},\lambda_{2}$ 是对称阵 $A$ 的两个特征值， $p_{1},p_{2}$ 是对应的特征向量。若 $\lambda_{1}\neq \lambda_{2}$ ，则 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 正交。

定理 3 设 $A$ 为 $n$ 阶对称阵，则必有正交阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP=P^{T}AP=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 是以 $A$ 的 $n$ 个特征值为对角元的对角阵。

推论设 $A$ 为 $n$ 阶对称阵， $\lambda$ 是 $A$ 的特征方程的 $k$ 重根，则矩阵 $A-\lambda E$ 的秩 $R(A-\lambda E)=n-k$ ，从而对应特征值 $\lambda$ 恰有 $k$ 个线性无关的特征向量。

定理 4 设 $A$ 为实对称阵 $\Rightarrow 则 A 必与对角矩阵相似\\ \Rightarrow 不同特征值的特征向量必正交\\ \Rightarrow k重特征值必有k个线性无关的特征向量$

9. 二次型及正定矩阵

定义 1 含有 $n$ 个变量 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ 的二次齐次函数 $\begin{eqnarray}f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}) &=& a_{11}x_{1}^{2} + a_{22}x_{2}^{2} + \cdots + a_{nn}x_{n}^{2} \\ &&+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+ \cdots + 2a_{1n}x_{1}x_{n} \\ &&+ 2a_{23}x_{2}x_{3}+ \cdots + 2a_{2n}x_{2}x_{n} \\ &&+ \cdots +2a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n}\end{eqnarray}$
称为 $n$ 元二次型，若规定 $a_{ij} = a_{ji}, \forall \, i,j=1,2,\cdots ,n$ ，则二次型有矩阵表示 $f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}) =x^{T}Ax$ 其中 $x=[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]^{T}, A=[a_{ij}]$ 且 $A^{T} = A$ 是对称矩阵，称 $A$ 为二次型的矩阵，秩 $r(A)$ 称为二次型的秩，记为 $r(f)$ 。

定义 2 对二次型 $x^{T}Ax$ ，如果对任何 $x\neq 0$ ，恒有 $x^{T}Ax>0$ ，则称二次型 $x^{T}Ax$ 为正定二次型，并称实对称矩阵 $A$ 是正定矩阵。

定理 1 $n$ 元二次型 $x^{T}Ax$ 正定的充分必要条件有：
(1) $A$ 的正惯性指数为 $n$
(2) $A$ 与 $E$ 合同，及存在可逆矩阵 $C$ ，使 $C^{T}AC=E$
(3) $A$ 的所有特征值均为正数
(3) $A$ 的各阶顺序主子式均大于零

推论 1 $x^{T}Ax$ 正定的必要条件是：
(1) $a_{ii}>0(i=1,2, \cdots ,n)$
(2) $|A|>0$

定义 3 两个 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ ，如果存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{T}AC=B$ 就称矩阵 $A$ 和 $B$ 合同，记作 $A\simeq B$ ，并称由 $A$ 到 $B$ 的变换为合同变换，称 $C$ 为合同变换的矩阵。

10. 线性空间

定义 1 设 $V$ 是一个非空集合， $R$ 为实数域。如果对于任意两个元素 $\alpha, \beta \in V$ ，总有唯一的一个元素 $\gamma \in V$ 与之对应，称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和，记作 $\gamma = \alpha+\beta$ ；又对于任一数 $\lambda \in R$ 与任一元素 $\alpha \in V$ ，总有唯一的一个元素 $\delta \in V$ 与之对应，称为 $\lambda$ 与 $\alpha$ 的积，记作 $\delta = \lambda \alpha$ ；并且这两种运算满足以下八条运算规律（设 $\alpha, \beta, \gamma \in V, \lambda, \mu \in R$ ）：
(i) $\alpha+\beta = \beta + \alpha$
(ii) $(\alpha+\beta) + \gamma= \alpha+(\beta + \gamma)$
(iii) 在 $V$ 中存在零元素 $0$ ；对任何 $\alpha \in V$ ，都有 $\alpha+0=\alpha$
(iv) 对任何 $\alpha \in V$ ，都有 $\alpha$ 的负元素 $\beta \in V$ ，使 $\alpha+\beta =0$
(v) $1 \alpha=\alpha$
(vi) $\lambda(\mu \alpha)=(\lambda \mu)\alpha$
(vii) $(\lambda+\mu )\alpha=\lambda \alpha + \mu \alpha$
(viii) $\lambda (\alpha+\beta) = \lambda \alpha+ \lambda \beta$
那么， $V$ 就称为（实数域 $R$ 上的）向量空间（或线性空间）， $V$ 中的元素不论其本来性质如何，统称为（实）向量。