第三章线性映射

title: 第三章线性映射
category: 知识点
date: 2019/09/05
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1.定义与例子

定义：从V到W的线性映射是具有以下性质的函数 $T:V \to W$ :
1.加性：对于所有 $u,v\in V$ ，都有 $T(u+v)=Tu+Tv$
2.齐性：对所有 $a\in F,v\in V$ 都有 $T(av)=a(Tv)$

从V到W的所有线性映射所构成的集合记为 $\mathcal{L}(V,W)$

线性映射：位似是线性映射，平移不是线性映射。判断0点不改变。

例子：
零：将V空间中的每一个元素都映射为W空间中的加法单位元。
$0\in \mathcal{L}(V,W)$ , $0v=0$ 左边的零是函数，右边的零是W的加法单元

恒等:
记为 $\mathit{I}$ ,把元素映射为自身。 $\mathit{I}\in \mathcal{L}(V,V)$ $\mathit{I}v=v$

微分:
$T\in \mathcal{L}(\mathcal{P}(R),\mathcal{P}(R)))$ , $Tp=p'$

积分：
$T\in \mathcal{L}(\mathcal{P}(R),R)$ , $Tp=\int_0^1 p(x)dx$

$x^2乘$ : $T\in \mathcal{L}(\mathcal{P}(R),\mathcal{P}(R)))$ , $(Tp)(x)=x^2p(x)$

后向移位: $T\in \mathcal{L}(F^\infty,F^\infty)$ , $T(x_1,x_2,x_3,...)=(x_2,x_3,...)$ .

$从F^n到F^m$ : : $T\in \mathcal{L}(R^3,R^2)$ , $T(x,y,z)=(2x-y+3z,7x+5y-6z)$ .
更一般地，设m和n都是正整数, $a_{j,k}\in F,j=1,...,m,k=1,...,n.$
$T\in \mathcal{L}(F^3,F^2)$ , $T(x_1,...,x_n)=(a_{1,1}x_1+...+a_{1,n}x_n,...,$
$a_{m,1}x_1+...+a_{m,n}x_n)$

线性映射的性质：

加法： $S,T\in \mathcal{L}(V,W)$ ,则 $S+T\in \mathcal{L}(V,W)$ ,且 $(S+T)v=Sv+Tv,v\in V$
标量乘法： $a\in F,T\in \mathcal{L}(V,W)$ ，则 $aT\in \mathcal{L}(V,W)$ ,且 $(aT)v=a(Tv),v\in V$

映射的乘法(一种有意义的向量乘法):
如果 $T\in \mathcal{L}(U,V),S\in \mathcal{L}(V,W)$ ，那么定义 $ST\in \mathcal(U,W)$ :
写法为： $(ST)(v)=S(Tv),v\in V$ |
乘积有意义则T映到S的定义域内。即T的目的地是S的出发地

这个乘法类似于函数的复合，有乘积的大多数常见性质：
1、结合性： $(T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3)$
2、恒等映射： $TI=T,IT=T$ . 第一个I是V上的恒等映射，第二个是W上的恒等映射。
3、分配性质： $(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T$ , $S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2$
其中， $T,T_1,T_2\in \mathcal{L}(U,V)$ , $S,S_1,S_2\in \mathcal{L}(V,W)$

不符合交换律，例如先加2再乘3，与先乘3再加2是不同的。函数的复合运算也不满足交换律。

2.零空间与值域

定义：对于 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ,V中被T映成0的那些向量所组成的子集称为T的零空间(null space) ,记为null 术语为核(kernel).
$null T=\{v\in V:Tv=0\}$
例如： $T\in \mathcal{L}(\mathcal{P}(R),\mathcal{P}(R)))$ , $Tp=p'$ 只有常函数的倒数才是零函数，于是T的零空间等于常函数之集。

1.多维标量可以组成空间
2.系数维标量的多项式可以组成空间
3.函数与映射可以组成空间
4.空间的特殊子空间为零空间，零空间里的任意向量都被某一映射成W中的零向量。

命题1：

$T\in \mathcal{L}(V,W),则null T 是V的子空间$

命题2：

设 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ,当且仅当null T={0},T 是单的。

“单的”，这里指单映射，或者一对一映射。当Tu=Tv时，u=v,验证：只有0能被映射为0

值域：W中形如Tv的向量所组成的子集。英文range,或者image(象)

$rangeT=\{Tv:v\in V\}$

命题3：

如果 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ,那么rangeT 是W的子空间。

如果rangeT等于W，则线性映射T称为满的。

定理1：

如果 V是有限维向量空间，并且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ，那么rangeT是W的有限维子空间，并且 dim V=dim nullT + dim rangeT

推论1；

如果V和W都是有限维向量空间，并且dim V>dim W。对于 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ，那么V到W的线性映射一定不是单的。

推论2：

如果V和W都是有限维向量空间，并且dim V<dim W。对于 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ，那么V到W的线性映射一定不是满的。

线性方程组中的结论：

从 $F^n\to F^m$ : 设m和n都是正整数, $a_{j,k}\in F,j=1,...,m,k=1,...,n.$
$T\in \mathcal{L}(F^n,F^m)$ ,
$T(x_1,...,x_n)=\lgroup\sum_{k=1}^{n}a_{(1,k)}x_k,...,\sum_{k=1}^{n}a_{(m,k)}x_k\rgroup$

考虑方程 $Tx=0$ 可以重新写成一个齐次方程组，
$\sum_{k=1}^{n}a_{(1,k)}x_k=0$
$\ldots$
$\sum_{k=1}^{n}a_{(m,k)}x_k=0$

当n>m时，映射不是单的，即变量多余方程时，齐次线性方程必有非零解。

考虑方程 $Tx=c$ 的非齐次方程组，
$\sum_{k=1}^{n}a_{(1,k)}x_k=c_1$
$\ldots$
$\sum_{k=1}^{n}a_{(m,k)}x_k=c_m$

n<m，T不是满的。当方程多余变量时，必有一组常数项使得相应的非齐次线性方程组无解。

3.3线性映射的矩阵

重点：使用矩阵和W的基来有效记录 $Tv_j$ 。
定义矩阵:设m和n都是正整数，一个 $m\times n$ 矩阵是一个有m个行和n各列的矩形阵列，犹如：
$\left[ \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & &\vdots\\ a_{m,1} &\cdots & a_{m,n} \end{matrix} \right] ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (1)$

对于 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ，可以写成 $Tv_k=a_{1,k}w_1+...+a_{m,k}w_m$

由上可以得出V是n维的，W是m维的。

上述由这些a所构成的 $m×n$ 矩阵(1)称为T关于基 $(v_1,...,v_n)$ 和基 $(w_1,...,w_m)$ 的矩阵。记为：
$\mathcal{M}(T,(v_1,...,v_n),(w_1,...,w_m))$

如果基是自明的，只写出了一个基。就可以将上式简写为 $\mathcal{M}(T)$

为了突出T，可以将矩阵定义域和目标空间的基向量加上。定义域在上，目标空间在左。
$\begin{matrix}v_1 & \cdots &v_k \cdots &v_n\\\end{matrix}\\ \begin{matrix} w_1 \\ \vdots \\ w_m\end{matrix} \left[ \begin{matrix} &&&a_{1,k} &&&\\ &&&\vdots&&& \\ &&&a_{m,k} &&& \end{matrix} \right]$

如果T是Fn到Fm的线性映射，考虑的基是标准基(标准正交基：第k个向量的第k个位置是1，其他位置是0)

矩阵加法

$\left[ \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & &\vdots\\ a_{m,1} &\cdots & a_{m,n} \end{matrix} \right] +\left[ \begin{matrix} b_{1,1} & \cdots & b_{1,n}\\ \vdots & &\vdots\\ b_{m,1} &\cdots & b_{m,n} \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a_{1,1}+b_{1,1} & \cdots & a_{1,n}+b_{1,n}\\ \vdots & &\vdots\\ a_{m,1}+b_{m,1} &\cdots & a_{m,n}+b_{m,n} \end{matrix} \right]$

当 $T,S\in mathcal{L}(V,W)$ 时，
$\mathcal{M}(T+S)=\mathcal{M}(T)+\mathcal{M}(S)$

矩阵标量乘法

$c \left[ \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & &\vdots\\ a_{m,1} &\cdots & a_{m,n} \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} ca_{1,1} & \cdots & ca_{1,n}\\ \vdots & &\vdots\\ ca_{m,1} &\cdots & ca_{m,n} \end{matrix} \right] .$

当 $c\in F,T\in \mathcal{L}(V,W)$ 时， $\mathcal{M}(cT)=c\mathcal{M}(T)$

矩阵空间：元素在F 中的所有m×n矩阵的集合记为 $Mat(m,n,F)$

复合线性映射用矩阵表示: $\mathcal{M}(TS)=mathcal{M}(T)M(S)$

矩阵乘法解析： $U \to V$ ， $V \to W$
$设\mathcal{M}(T)=\left[ \begin{matrix}a_{1,1}& \cdots &a_{1,n}\\ \vdots && \vdots\\a_{m,1}&\cdots&a_{m,n} \end{matrix} \right], \mathcal{M}(S)=\left[ \begin{matrix}b_{1,1}& \cdots &b_{1,p}\\ \vdots && \vdots\\b_{n,1}&\cdots&b_{n,p} \end{matrix} \right]$
对于 $k\in \{1,...,p\}$ 有
$\begin{align*}TSu_k&=T\lgroup \sum_{r=1}^{n}b_{r,k}v_r\rgroup\\&=\sum_{r=1}^{n}b_{r,k}Tv_r\\&=\sum_{r=1}^{n}b_{r,k}\sum_{j=1}^ma_{j,r}w_j\\&=\sum_{r=1}^{n}\lgroup\sum_{r=1}^na_{j,r}b_{r,k}\rgroup w_j\end{align*}$
定义矩阵乘法：如果A是m×n矩阵，元素为 $a_{j,k}$ ,B是n×p矩阵，元素为 $b_{j,k}$ 。
定义AB是m×p矩阵,其元素为 $\sum_{r=1}^na_{j,r}b_{r,k}$

如何通过基和来表示向量的矩阵

设 $(v_1,...,v_n)$ 是V的基，如果 $v\in V$ ,就存在唯一的一组数 $b_1,...,b_n$
是的 $v=b_1v_1+...+b_nv_n$
v的矩阵是一个n×1矩阵，记为 $\mathcal{M}(v)$ ,写作：
$\mathcal{M}(v)=\left[ \begin{matrix} b_1\\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right]$

线性映射的矩阵，向量的矩阵，矩阵乘法是如何结合在一起的。

命题4：

设 $T \in \mathcal{L}(V,W),(v_1,...,v_n)是V的基，(w_1,...,w_m)是W的基，那么对每个v\in V 都有$ ：
$\mathcal{M}(Tv)=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v)$
上面： $\mathcal{M}(Tv)是向量Tv关于基(w_1,...w_m)的矩阵，\mathcal{M}(v)是向量v关于基(v_1,...,v_n)的矩阵，\\ \mathcal{M}(T)是线性映射T关于基(v_1,...,v_n)和(w_1,...,w_m)的矩阵$

可逆性

线性映射 $T \in \mathcal{L}(V, W)$ 称为可逆的 (invertible) , 如果存在线性映射 $S \in \mathcal{L}(W, V)$ 使得 ST 等于 V 上的恒等映射，并且TS等于W上的恒等映射满足 ST= I, TS = I 的线性映射 $S∈\mathcal{L}(W, V)$ 称为 T 的逆 (inverse).

命题5：

一个线性映射是可逆的当且仅当它既是单的又是满的.

有可逆线性映射的两个向量空间称为同构的，映射就是把向量空间的元素重新标记了一遍。

定理2：

两个有限维向量空间同构当且仅当它们的维数相等。

命题6：

设 $(v_1,...,v_n)$ 是V的基， $(w_1,...,w_m)$ 是W的基，那么 $\mathcal{M}是\mathcal{L}(V,W)和Mat(m,n,F)之间的可逆线性映射。$

命题7

如果V和W都是有限维的，那么 $\mathcal{L}(V,W)$ 是有限维的，并且 $dim\mathcal{L}(V,W)=(dim V)(dim W).$

$算子：一个空间向量到其自身的线性映射称为算子$
$\mathcal{L}(V)=\mathcal{L}(V,V)$

对于有限维向量空间到齐自身的线性映射，单性和满性中的任何一个都能推出另一个。

定理3

设V是有限维的，如果 $T\in \mathcal{L}(V),那么下列等价：$
(a) T是可逆的;
(b)T是单的;
(c)T是满的.

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