《概率论与数理统计》课后答案详解 1-2、3

2、设 A，B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。
（1）、A 发生，B 与 C 不发生。
$A \overline {B} \overline {C}$
或 A-(AB+BC)
或 $A- \left( B \cup C \right)$

（2）、A，B 都发生，而 C 不发生。
$AB \overline {C}$
或 AB-ABC
或 AB-C

(3)、A，B，C 中至少有一个发生。
A+B+C

(4)、A,B,C都发生。
$ABC$

(5)、A,B,C都不发生。
$\overline {A} \overline {B} \overline {C}$
$S- \left( A+B+C \right)$
$\overline{A \cup B \cup C}$

(6)、A,B,C不多于一个发生
$A \overline {B} \overline {C}+ \overline {A}B \overline {C}+ \overline {A} \overline {B}C+ \overline {A} \overline {B} \overline {C}$
或 $\overline {B} \overline {C}+ \overline {A} \overline {C}+ \overline {A} \overline {B}$
或写成 $\overline {B} \overline {C} \cup \overline {A} \overline {C} \cup \overline {A} \overline {B}$
证明：
$\begin{array}{*{20}{l}} {A \overline {B} \overline {C}+ \overline {A}B \overline {C}+ \overline {A} \overline {B}C+ \overline {A} \overline {B} \overline {C}}\\ { \because A+A=A}\\ { \therefore \overline {A} \overline {B} \overline {C}+ \overline {A} \overline {B} \overline {C}= \overline {A} \overline {B} \overline {C}}\\ { \therefore A \overline {B} \overline {C}+ \overline {A}B \overline {C}+ \overline {A} \overline {B}C+ \overline {A} \overline {B} \overline {C}=A \overline {B} \overline {C}+ \overline {A}B \overline {C}+ \overline {A} \overline {B}C+ \overline {A} \overline {B} \overline {C}+ \overline {A} \overline {B} \overline {C}+ \overline {A} \overline {B} \overline {C}}\\ {=\text{（}A \overline {B} \overline {C}+ \overline {A} \overline {B} \overline {C}\text{）}+\text{（} \overline {A}B \overline {C}+ \overline {A} \overline {B} \overline {C}\text{）}+\text{（} \overline {A} \overline {B}C+ \overline {A} \overline {B} \overline {C}\text{）}\text{、}}\\ {= \overline {B} \overline {C}+ \overline {A} \overline {C}+ \overline {A} \overline {B}} \end{array}\\$

（7）A，B，C 中不多于二个发生。
思考一：也就是说ABC都发生的情况不存在，即 ${\overline{ABC}}$
思考二：相当于 ${\overline{A}、\overline{B}、\overline{C}}$ 至少有一个发生，即 ${\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}}$

（8）A，B，C 中至少有二个发生。
思考一： ${AB、BC、AC}$ 中至少有一个发生，也就是 ${AB+BC+AC}$
思考二：

至少两个发生的情况就是，两个发生加上全部发生情况

即： ${AB \overline {C}+A \overline {B}C+ \overline {A}BC+ABC}\\$
再证明：
$\begin{array}{*{20}{l}} {AB \overline {C}+A \overline {B}C+ \overline {A}BC+ABC}\\ {=AB \overline {C}+A \overline {B}C+ \overline {A}BC+ABC+ABC+ABC}\\ {=\text{（}AB \overline {C}+ABC\text{）}+（A \overline {B}C+ABC）（ \overline {A}BC+ABC）}\\ {=AB+BC+AC} \end{array}\\$

3(1) 设 A，B，C 是三事件，且P(A) = P(B) = P(C) =1/4, P(AB)=P(BC)=0，P(AC) = 1/8 . 求 A，B，C 至少有一个发生的概率。
思考一：
根据题目画出ABC的韦恩关系图：

image.png

A,B,C中最少有一个发生的概率，就是P(A)+P(C)-P(AC)+P(B)=

思考二：
带入公式

image.png

3（2）已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30.
求： $A \cup B$
解： $P(A\cup B)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{10}=\frac{11}{15}$

求： $\overline {A} \overline {B}$
解： $P(\overline {A} \overline {B})=P( \overline {A \cup B})=1-P({A \cup B})=\frac{{4}}{{15}}$

求： $A \cup B \cup C$
解： $P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{15}-\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{17}{20}$

求： $\overline A \overline B \overline C$
解： $P(\overline A \overline B \overline C)=P(\overline {A \cup B \cup C})=1-P(A \cup B \cup C)=1-\frac{17}{20}=\frac{3}{20}$

求： $\overline A \overline B C$
解： $P(\overline A \overline B C)=P(A \cup B \cup C)-P(A \cup B)=\frac{17}{20}-\frac{11}{15}=\frac{7}{60}$

求： $\overline A \overline B \cup C$
解： $P(\overline A \overline B \cup C)=P(\overline A \overline B)+P(C)-P(\overline A \overline B C)=\frac{4}{15}+\frac{1}{5}-\frac{7}{60}=\frac{7}{15}-\frac{7}{60}=\frac{7}{20}$

3(3)
i $P(A \overline B)=P(A)-P(AB)=\frac{1}{2}$
ii $P(A \overline B)=P(A)-P(AB)=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$

《概率论与数理统计》课后答案详解 1-2、3

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