牛顿，微积分的奠基者之一。他称其发明为“流数法”。后来证明，本质上跟莱布尼兹发明的微积分是一样的。他在发明“流数法”以后，闲极无聊，就算算圆周率。人和人是多么不同啊。

还要提到的是，牛顿年轻时候推广的二项式定理。这个定理，普通的时候很普通，

整数系数的二项式

就是用贾宪-杨辉-帕斯卡三角展开，只要用乘法，就能验证。

牛顿在24岁的时候，就把这个定理推广到分数的形式了。原始的二项式定理用的是所谓“组合数”的观念，例如，从5样东西里选择3样，有多少中选法呢？ 第一个有5种选择，第二个有4种选择，第三个有3种选择。然而，3个东西的排列次序是无所谓的。3个东西排列的方式有3×2×1=6种。因此，5选3的方法就是 (5*4*3)/(3*2*1)，10种。记做C(5 3)=10。传统的写法是把5写成下标，把3写成上标，看起来像C5的3次方一样，数学符号就是如此的混乱。上面5次方的多项式，x的3次方系数就是10。

牛顿推广的时候，基本没怎么变动，就是把C(n r)的分子写成从n开始的r个数相乘（每个递减1），分母还是r的阶乘法。但这个 r 从 0 一直增加的无穷大。而且，对x也有要求，x的绝对值必须小于1。

选择数的推广

不知道人们为何又改用括号的方法表示，括号的写法同C的写法正好颠倒n和r的上下，但算式是一样的。于是，我也习惯用括号的写法了。不必展开，反正知道每个括号对应一个数字就可以了。展开来太长了。

下面是r=1/2时，（1+x）^r 展开后前几项的系数，

1  ， 1/2， -1/8 ，1/16 ，-5/128， 7/256， -21/1024， 33/2048， -429/32768 ，715/65536

注意到系数是正负交替的，因此，人们常常展开 (1-x)^r，干脆把后面的符号都统一了。注意幂是从0开始的，0次幂系数是1，1次幂系数为1/2, 2次幂的系数为-1/8...

牛顿二项式定理

这个定理，经牛顿推广以后，就太神奇了。

这个定理，我在很多书上寻找证明，暂时还没有找到。但看见过用泰勒级数证明的，我以为不妥，因为泰勒出生的年代比牛顿晚，泰勒级数是在牛顿二项式定理启发而发现的，因此用泰勒级数证明牛顿的二项式定理是颠倒因果的做法。就好比用两点间距离公式证明勾股定理一样。

暂且算牛顿的女神托梦送他的吧。真的很好用。牛顿也很喜欢，有了二项式定理，各种开方运算像吃饭喝水一样简单。

然后是积分的运算。定积分，是求曲线下的面积;不定积分，是求一个函数的原函数。原函数的两个函数值一减，就可以得到定积分的值。这东西，打个比方说就是，假设一个人在走路，距离一直在变，距离的相对时间变化率就是速度，速度累积在时间上的效果就是距离。

y=(x^2)/8

如果求直线 y=x 下的面积（同x轴一起围成），显然是个三角形，结果是(x^2)/2。结果的次数比y=x中升高一次，系数正好乘以次数的倒数。类推，上面这个抛物线 y=(x^2)/8 下的面积也是，次数升高一次变为3，系数乘以1/3.那么就是  (x^3)/24 。

所以，幂函数的积分运算相当简单，升高次数，调整系数。就是这么简单。

知道幂函数的积分和二项式定理，就可以开启分析法计算圆周率了。

先精心挑选这样一个圆

牛顿的圆

圆的方程如下：

上侧半圆

得到这个方程以后，有的人直接就开始用分部积分公式计算面积了。有的人先对后面展开。先展开，看起来容易些。

方程展开以后

展开以后，就可以一项的积分了，于是，可以得到面积的公式

面积公式

假如直接用这个公式，取x=1,计算，也可以得到半圆的面积，但是，收敛会非常非常缓慢。实际上，牛顿取x=1/4，也就是只计算0到1/4部分圆面积，加上旁边的一个三角形，直接就获得1/6圆面积。三角形KDC的面积为 （1/2）×（1/4）× (SQRT(3) /4) = SQRT(3)/32  。

部分面积