Poisson tails估计

HDP 20,21

利用Poisson极限定理：

并且结合Chernoff不等式就知道

如果 $X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)$ ，那么当 $t>\lambda$ 的时候 $\mathbb{P}\{X \geq t\} \leq e^{-\lambda}\left(\frac{e \lambda}{t}\right)^{t}$

这个bound是sharp的，因为根据Stirling公式， $\mathbb{P}\{X=k\} \sim \frac{1}{\sqrt{2 \pi k}} \cdot e^{-\lambda}\left(\frac{e \lambda}{k}\right)^{k}$

均值附近的Possion分布： $t \in(0, \lambda]$ 时： $\mathbb{P}\{|X-\lambda| \geq t \} \leq 2 \exp \left(-\frac{c t^{2}}{\lambda}\right)$

所以Poisson分布在接近均值的时候是接近正态分布下降的，然后在非常远的时候是Poisson下降。

最后编辑于：2020.01.30 23:41:19

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