线性方程组解的存在定理和例题

命题1.已知 $A$ 是 $s\times n$ 矩阵, $B$ 是 $m\times n$ 矩阵， $X$ 是 $n\times 1$ 的列向量，则齐次线性方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解的充要条件是 $A$ 与 $B$ 的行向量等价，并说明他们的列向量不一定等价。

例. $A$ 是n级反对称矩阵,b是n维列向量，则 $Ax=b$ 有解的充要条件是 $r(A)=r \left( \begin{array}{cc} A &b\\ b' &0\end{array} \right)$

命题2. $A,B$ 分别是 $s\times m,m\times n$ 的矩阵，则 $ABX=0$ 与 $BX=0$ 同解的充要条件是 $r(AB)=r(B)$

命题3. $A,B$ 分别是 $s\times m,m\times n$ 的矩阵，且 $r(AB)=r(B)$ ，证明对任意的 $n\times s$ 矩阵 $C$ 都有 $r(ABC)=r(BC)$
推论:设 $A$ 是一个方阵，且存在正整数 $k$ 使得 $r(A^{k-1})=r(A^k)$ ，则 $r(A^{k+2})=r(A^{k+1})递推就有r(A^k)=r(A^{k+1})=...$

命题4.设 $A$ 是n级方阵，证明：对于任意正整数 $k$ 有 $r(A^n)=r(A^{n+k})$

分块矩阵简单应用

例.已知 $A$ 是 $n \times s$ 的实列满秩矩阵，其中 $s<n$ ，则存在 $n\times (n-s)$ 的实列满秩矩阵 $B$ 使得 $(A,B)$ 为可逆矩阵，且 $B'A=0$
提示：易得 $B$ 为 $A'x=0$ 的基础解系所组成解矩阵，那么还能得到 $A'B=0$ ,现主要证明 $(A,B)$ 可逆，可转化为 $(A,B)(X,Y)'=AX'+BY'=0$ 只有零解，可分别同乘 $A',B'$

对角占优

命题4.设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是一个n级实矩阵，则
(1)如果 $\left| a_{ii}\right|>\sum \limits _{i\not=j}\left| a_{ij}\right|$ ，那么 $\left|A\right| \not=0$
(2)如果 $a_{ii}>\sum\limits_{j\not=i}\left|a_{ij}\right|$ ，那么 $\left|A\right|>0$

推论： $A$ 是任意n级实方阵，则存在充分大的 $M$ 使得 $t>M$ 时， $tE+A$ 可逆

例1.(1)设 $A,B,C,D$ 都是n级矩阵，且 $AC=CA$ ，证明 $\left| \begin{array} {cc} A&B\\ C&D\end{array}\right|=\left|AD-CB\right|$
(2)已知 $A$ 是n级方阵， $\alpha,\beta$ 为n维单位列向量，证明 $\left| \begin{array}{cc} A&\alpha\\ \beta'&1\end{array}\right|=\left|A\right|-\beta'A^*\alpha$

例2.求二次型 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=n\sum_{i=1}^nx_i^2-(\sum_{i=1}^nx_i)^2$ 的秩和正负惯性指数
证明：(1)矩阵行和为0，故秩小于等于 $n-1$
(2) $n-1$ 阶主子式对角占优，故秩大于等于 $n-1$
(3)该矩阵半正定：
判别法(a):利用 $Cauchy$ 不等式 $(a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2\leq(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)$ $\Rightarrow$ $(\sum x_i)^2=(1x_1+1x_2+\ldots+1x_n)\leq(1^2+1^2+\ldots+1^2)(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2)=n\sum x_i^2$
判别法(b):拆开后利用秩1矩阵性质进行计算行列式，得到特征值为 $n(n-1重根)$ 和 $0$

例3.设 $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 满足条件
(1) $a_{ii}>0,i=1,2,\ldots,n$
(2) $a_{ij}<0,j\not=i$
(3) $\sum_{i=1}^na_{ik}=0,k=1,2,\ldots,n$
试求 $A$ 的秩 $r(A)$

方程组在解析几何中的应用

例题1：求过 $M_1(0,0),M_2(1,0),M_3(2,1),M_4(1,1),M_5(1,4)$ 的二次曲线方程

例题2：证明：如果一个球面的球心坐标 $(x_0,y_0,z_0)$ 中至少有一个是无理数，则此球面上任何四个不在同一平面上的点中至少有三个点坐标是有理数。

线性空间基本知识点

基变换和坐标变换

例题：(1)证明：在 $P[x]_n$ 中，多项式 $f_i(x)=(x-a_1)\ldots(x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\ldots(x-a_n),(i=1,2,\ldots,n)$ 是一组基，其中 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是 $P$ 中互异的数
(2)在(1)中，取 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是全体 $n$ 次单位根，求由基 $1,x,x^2,\ldots,x^{n-1}$ 到基 $f_1,f_2,\ldots,f_n$ 的过渡矩阵

线性空间的和与交，维数公式

例题：已知 $V_1,V_2$ 是有限维空间 $V$ 的子空间，且 $dim(V_1+V_2)=dim(V_1\cap V_2)+1$ ，证明：要么 $V_1\subseteq V_2$ 要么 $V_2\subseteq V_1$
证明：不难得到 $dim(V_1)+dim(V_2)=2dim(V_1\cap V_2)+1$ 接下来，我们可以得到 $[dim(V_1)-dim(V_1\cap V_2)]+[dim(V_2)-dim(V_1\cap V_2)]=1$ ，那么接下来的事情就是显然的了。

直和

空前绝后：

命题. $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 级方阵， $f(x),f_1(x),f_2(x)\in P[x]$ ，且 $f(x)=f_1(x)f_2(x)$ ， $(f_1(x),f_2(x))=1$ ，记 $n$ 元齐次线性方程组 $f(A)X=0$ ， $f_1(A)X=0$ ， $f_2(A)X=0$ 的解空间分别为 $V,V_1,V_2$ ，则 $V=V_1\oplus V_2$

覆盖定理

相当重要！！！

任何一个线性空间不能被自身的有限个非平凡的并所得到。

命题：(覆盖定理)(1)设 $V_1,V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个非平凡子空间，证明：在 $V$ 中存在向量 $\alpha$ 使得 $\alpha \notin V_1$ 且 $\alpha \notin V_2$ ，即集合 $V_1\cup V_2\subsetneq V$
(2)设 $V_1,V_2,\ldots,V_s$ 是线性空间 $V$ 的 $s$ 个非平凡子空间，证明： $V$ 中至少存在一个向量不属于 $V_1,V_2,\ldots,V_s$ 中的任何一个，即集合 $V_1\cup V_2\cup\dots\cup V_s \subsetneq V$

证明：(亦相当重要)
(1)由 $V_1$ 非平凡，得存在 $\alpha \notin V_1$ ,若 $\alpha \notin V_2$ 则 $\alpha$ 即所求，若不然,即 $\alpha \in V_2$ ,则存在 $\beta \notin V_2$ ,考虑 $\alpha+\beta,2\alpha+\beta$ ，首先二者均不属于 $V_2$ ，其次至少有一个不属于 $V_1$ 否则，作差得 $\alpha \in V_1$ ，矛盾
(2)归纳：不妨对于 $s-1$ 个子空间的时候是对的，那么存在 $\alpha \notin V_1 \cup V_2\cup \ldots\cup V_{s-1}$ 若 $\alpha \notin V_s$ 证毕，现 $\alpha \in V_s$ ，取 $\beta \notin V_s$ ，考虑 $\alpha+\beta,2\alpha+\beta,\ldots,s\alpha+\beta$ 必然均不属于 $V_s$ ，然后不存在两个向量同时属于空间 $V_i(i=1,2,\ldots,s-1)$ 又有共 $s$ 个向量，必然存在某个向量，设为 $j\alpha+\beta \notin V_1\cup V_2 \cup \ldots\cup V_s$ ,证毕

例题：已知 $\mathscr{A}_1,\mathscr{A}_2,\ldots,\mathscr{A}_s$ 是线性空间 $V$ 上的 $s$ 个两两不同的线性变换，证明：在 $V$ 中必存在向量 $\alpha$ 使得 $\mathscr{A}_1\alpha,\mathscr{A}_2\alpha,\ldots,\mathscr{A}_s\alpha$ 也两两不同
证明： $Ker(\mathscr{A}_i-\mathscr{A}_j)\subsetneq V$

例题：设 $P$ 是一个数域， $\mathscr{A}$ 是线性空间 $M_n(P)$ 上的线性变换，且对任意的 $A,B\in M_n(P)$ 都有 $\mathscr{A}(AB)=\mathscr{A}(A)\mathscr{A}(B)$ 或 $\mathscr{A}(AB)=\mathscr{A}(B)\mathscr{A}(A)$ ，证明：要么对于所有的 $A,B \in M_n(P)$ ，都有 $\mathscr{A}(AB)=\mathscr{A}(A)\mathscr{A}(B)$ 要么对于所有的 $A,B \in M_n(P)$ ,都有 $\mathscr{A}(AB)=\mathscr{A}(B)\mathscr{A}(A)$
证明：先固定一个矩阵，让另一个矩阵取遍 $M_n(P)$ 可验证为子空间，并起来为全空间，由覆盖定理，必然只能其中一个为全空间，再让原来固定的矩阵跑起来，最后就得到到了答案。

考研例题：设 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 中的 $m$ 个向量 $(m>1)$ ，如果对任意的 $\alpha\in V$ 都有 $\prod_{i=1}^m(\alpha,\alpha_i)$ 。证明： $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ 中至少有一个为零向量