曲线拟合　Fitting

在科研工作中经常需要拟合曲线，来得到相关参数。常见的曲线有：指数曲线，exponantial laws, y = c e^{\lambda x}, 级数曲线，power laws, y = x^{N}, 对数曲线，logarithmic laws, y = \ln x，　等等。

我们不能用眼睛从图像中判断这些曲线。我们唯一能判断的是直线，y = a x + b.

我们需要把这些不同的曲线转化为直线再做拟合。以下以指数曲线为例说明：

对指数曲线，y = c e^{\lambda x}, 已知N组数据 (x_i , y_i), i = 1, \cdots, N, 求参数 c 和\lambda。

首先把曲线转化为线性关系，即

\ln y = \ln c + \lambda x \tag1

新的数据为 (\tilde{x}_i = x_i , \tilde{y}_i = \ln y_i), i = 1 \cdots N.

用直线\tilde{y} = a \tilde{x} + b 做拟合，在新的关系里有：a = \lambda, b = \ln c.

设误差函数　Q,

Q = \sum_i^{N} ( \tilde{y}_i - ( a \tilde{x}_i + b) ) \tag2

目的要找出 a， b　的值使得 Q 最小，则有，

\frac{\partial Q}{\partial a} = 0 , \qquad \frac{\partial Q}{\partial b} = 0 \tag3

令\bar{x} = \frac{\sum_i^N \tilde{x}_i}{N}, \ \bar{y} = \frac{\sum_i^N \tilde{y}_i}{N} ,

得到　b = \bar{y} - a \bar{x}, a = \frac{\sum_i^N (\tilde{x}_i (\tilde{y}_i - \bar{y}) )}{\sum_i^N (\tilde{x}_i (\tilde{x}_i - \bar{x} ))},

解出 a, b 后便可得到

c = e^{b}, a = \lambda，　代入曲线y = c e^{\lambda x}，可作图。

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