1、简介

假设我们有n件物品，分别编号为1, 2...n。其中编号为i的物品价值为vi，它的重量为wi。为了简化问题，假定价值和重量都是整数值。现在，假设我们有一个背包，它能够承载的重量是W。现在，我们希望往包里装这些物品，使得包里装的物品价值最大化，那么我们该如何来选择装的东西呢？问题结构如下图所示：

这个问题其实根据不同的情况可以归结为不同的解决方法。假定我们这里选取的物品每个都是独立的，不能选取部分。也就是说我们要么选取某个物品，要么不能选取，不能只选取一个物品的一部分。这种情况，我们称之为0-1背包问题。而如果我们可以使用部分的物品的话，这个问题则成为部分背包(fractional knapsack)问题。这里我们只考虑0-1背包问题。

2、初步分析

对于这个问题，一开始确实有点不太好入手。一堆的物品，每一个都有一定的质量和价值，我们能够装入的总重量有限制，该怎么来装使得价值最大呢？对于这n个物品，每个物品我们可能会选，也可能不选，那么我们总共就可能有2^n种组合选择方式。如果我们采用这种办法来硬算的话，则整体的时间复杂度就达到指数级别的，肯定不可行。
现在我们换一种思路。既然每一种物品都有价格和重量，我们优先挑选那些单位价格最高的是否可行呢？比如在下图中，我们有3种物品，他们的重量和价格分别是10, 20, 30 kg和60, 100, 120。

那么按照单位价格来算的话，我们最先应该挑选的是价格为60的元素，选择它之后，背包还剩下50 - 10 = 40kg。再继续前面的选择，我们应该挑选价格为100的元素，这样背包里的总价值为60 + 100 = 160。所占用的重量为30, 剩下20kg。因为后面需要挑选的物品为30kg已经超出背包的容量了。我们按照这种思路能选择到的最多就是前面两个物品。如下图：

3、动态规划思路

既然前面两种办法都不可行，我们再来看看有没有别的方法。我们再来看这个问题。我们需要选择n个元素中的若干个来形成最优解，假定为k个。那么对于这k个元素a1, a2, ...ak来说，它们组成的物品组合必然满足总重量<=背包重量限制，而且它们的价值必然是最大的。因为它们是我们假定的最优选择嘛，肯定价值应该是最大的。假定ak是我们按照前面顺序放入的最后一个物品。它的重量为wk，它的价值为vk。既然我们前面选择的这k个元素构成了最优选择，如果我们把这个ak物品拿走，对应于k-1个物品来说，它们所涵盖的重量范围为0-(W-wk)。假定W为背包允许承重的量。假定最终的价值是V，剩下的物品所构成的价值为V-vk。这剩下的k-1个元素是不是构成了一个这种W-wk的最优解呢？
我们可以用反证法来推导。假定拿走ak这个物品后，剩下的这些物品没有构成W-wk重量范围的最佳价值选择。那么我们肯定有另外k-1个元素，他们在W-wk重量范围内构成的价值更大。如果这样的话，我们用这k-1个物品再加上第k个，他们构成的最终W重量范围内的价值就是最优的。这岂不是和我们前面假设的k个元素构成最佳矛盾了吗？所以我们可以肯定，在这k个元素里拿掉最后那个元素，前面剩下的元素依然构成一个最佳解。
现在我们经过前面的推理已经得到了一个基本的递推关系，就是一个最优解的子解集也是最优的。可是，我们该怎么来求得这个最优解呢？我们这样来看。假定我们定义一个函数c[i, w]表示到第i个元素为止，在限制总重量为w的情况下我们所能选择到的最优解。那么这个最优解要么包含有i这个物品，要么不包含，肯定是这两种情况中的一种。如果我们选择了第i个物品，那么实际上这个最优解是c[i - 1, w-wi] + vi。而如果我们没有选择第i个物品，这个最优解是c[i-1, w]。这样，实际上对于到底要不要取第i个物品，我们只要比较这两种情况，哪个的结果值更大不就是最优的么？
在前面讨论的关系里，还有一个情况我们需要考虑的就是，我们这个最优解是基于选择物品i时总重量还是在w范围内的，如果超出了呢？我们肯定不能选择它，这就和c[i-1, w]一样。
这里有一点值得注意，这里的wi指的是第i个物品的重量，而不是到第i个物品时的总重量。
另外，对于初始的情况呢？很明显c[0, w]里不管w是多少，肯定为0。因为它表示我们一个物品都不选择的情况。c[i, 0]也一样，当我们总重量限制为0时，肯定价值为0。
这样，基于我们前面讨论的这3个部分，我们可以得到一个如下的递推公式：

4、Python代码实现

import numpy as np

def solve(vlist,wlist,totalWeight,totalLength):
    resArr = np.zeros((totalLength+1,totalWeight+1),dtype=np.int32)
    for i in range(1,totalLength+1):
        for j in range(1,totalWeight+1):
            if wlist[i] <= j:
                resArr[i,j] = max(resArr[i-1,j-wlist[i]]+vlist[i],resArr[i-1,j])
            else:
                resArr[i,j] = resArr[i-1,j]
    return resArr[-1,-1]

if __name__ == '__main__':
    v = [0,60,100,120]
    w = [0,10,20,30]
    weight = 50
    n = 3
    result = solve(v,w,weight,n)
    print(result)

5、复杂度优化

以上方法的时间和空间复杂度均为 O(N*W)，其中时间复杂度基本已经不能再优 化了，但空间复杂度却可以优化到 O(W)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环 i=1..N，每次算出来 二维数组 f[i][0..W]的所有值。那么，如果只用一个数组 f[0..W]，能不能保证 第 i 次循环结束后 f[w]中表示的就是我们定义的状态 f[i][w]呢?f[i][w]是由 f[i-1][w]和 f[i-1][w-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推 f[i][w]时(也 即在第 i 次主循环中推 f[w]时)能够得到 f[i-1][w]和 f[i-1][w-w[i]]的值呢? 事实上，这要求在每次主循环中我们以 v=V..0 的顺序推 f[w]，这样才能保证推 f[v]时 f[v-w[i]]保存的是状态 f[i-1][w-w[i]]的值。改进后的代码如下：

def solve2(vlist,wlist,totalWeight,totalLength):
    resArr = np.zeros((totalWeight)+1,dtype=np.int32)
    for i in range(1,totalLength+1):
        for j in range(totalWeight,0,-1):
            if wlist[i] <= j:
                resArr[j] = max(resArr[j],resArr[j-wlist[i]]+vlist[i])
    return resArr[-1]

if __name__ == '__main__':
    v = [0,60,100,120]
    w = [0,10,20,30]
    weight = 50
    n = 3
    result = solve2(v,w,weight,n)
    print(result)

6、进一步思考

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题 目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。 一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了 f[0]为 0 其它 f[1..W]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的 f[N]是一种恰好装满背包的最 优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将 f[0..W]全部设为 0。
为什么呢?可以这样理解:初始化的 f 数组事实上就是在没有任何物品可以放入 背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为 0 的背包可能 被价值为 0 的 nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未 定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何 容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为 0，所以初始时状 态的值也就全部为 0 了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移 之前的初始化进行讲解。

7、总结

01 背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基 本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成 01 背包问题求解。故一 定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优 化的空间复杂度