对微积分运算推广的猜想

不自量力

本人才疏学浅，数学功底不好，微积分也只是了解一点，竟然想研究这样的高深理论？算了，不过是一个猜想而已，这里把它分享给大家，好让大家了解一下。

解析延拓

要知道，在百年来数学的不断发展中，数字这个集合越来越大，从自然数，正整数，整数到有理数，实数，复数。这就是延拓，运算使得数字拥有了价值，运算自然也被延拓了。比如在古代，分数这个二元运算的分子与分母只能是正整数，而现在，它的定义域被拓展到了复数。再比如，很早之前 $x^a,a^x,sin(x),ln(x)$ 等等初等函数的定义域是实数或者正实数，而现在，它们可以被定义在复数域，并且是唯一的，这就是解析延拓。

最经典的是一元运算阶乘， $0!=1,1!=1,n!=n\times(n-1)!$ 这是一个定义在非负整数上的函数，而它可以被推广到实数域甚至复数域。阶乘函数的解析延拓就是 $\Gamma(x)$ ，当 $n$ 为非负整数时，有 $n!=\Gamma(n+1)$ ， $\Gamma(x)$ 也叫作欧拉第二积分，它在高数上有极其重要的应用，它的定义是 $\Gamma(x)=\int_R t^{x-1}e^{-t}dt$ 。

将求导运算延拓到实数

先研究最简单的幂函数

$f(x)=x^\alpha$
我们对它求 $n$ 阶导数， $n \in \mathbb{N}$
$f^{(1)}(x)=\alpha x^{\alpha-1} \\ f^{(2)}(x)=\alpha (\alpha-1) x^{\alpha-2} \\ \dots \\ f^{(n)}(x)=\alpha (\alpha-1) \dots (\alpha-n+1) x^{\alpha-n} \\$
左右乘一个 $(\alpha-n)!$ 得到
$(\alpha-n)!f^{(n)}(x)=\alpha !x^{\alpha-n}$

故有
$f^{(n)}(x)=\frac{\alpha !}{(\alpha-n) !}x^{\alpha-n}$

考虑到我们的目的是延拓求导，也就是把 $n$ 的取值从 $n \in \mathbb{N}$ 变成 $n \in \mathbb{R}$ ，所以我们把 $\alpha!$ 替换成 $\Gamma(\alpha+1)$ 得到
$f^{(n)}(x)=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha-n+1)}x^{\alpha-n}$

因为我们并不确定这种变换到底还是不是求导，所以我们定义一个算子 $D^n$ ，使得 $(D^nf)(x)=f^{(n)}(x)$ ，于是有
$(D^n)f(x)=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha-n+1)}x^{\alpha-n}$

要知道，数学有个很美丽之处就是连续，现在 $n$ 连续了，我们尝试把 $f(x)=\frac{1}{2}x^2$ 在算子 $D^n,n \in [0,2]$ 的变换下的动画绘制出来，如下图

对于积分

我们知道求导和积分实际上是一对逆运算。特别的，如果函数 $f(x)$ 在定义域上连续且可导，那么在其定义域上有
$\int{\frac{df(x)}{dx}}dx=f(x)$
以前面所猜想的幂函数为例子， $f(x)=x^\alpha$ 的 $-1$ 次导数，实际上就是它的积分。如果我们定义算子 $J$ 使得 $(Jf)(x)=\int{f(x)dx}$ ，我们可以得出这样一个特殊结论。
若 $f(x) 是幂函数$ ，则有
$(D^nf)(x)=(J^{-n}f)(x)$
我们尝试把 $f(x)=x^3$ 在算子 $D^n,n \in [-5,5]$ 的变换下的动画绘制出来，如下图

可以看出，

(D^{-1}f)(x)

确实是

f(x)

的积分。

正弦函数的一个例子

猜想
$(D^nsin)(x)=(J^{-n}sin)(x)=cos(\frac{n\pi}{2})sin(x)+sin(\frac{n\pi}{2})cos(x)=sin(x+\frac{n\pi}{2})$
变换的动画如下图

算子的定义

这个等式参照维基百科

n阶求导算子D

$(D^nf)(x)={\frac {1}{\Gamma (1-n )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{(x-t)^{n }}}\,dt$

α重积分算子J

$(J^{\alpha }f)(x)={1 \over \Gamma (\alpha )}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)\;dt$

维基百科

维基百科有关于分数阶微积分的详细介绍：
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus

说明

本人只是猜想和整理，不代表以上内容我都完全搞懂了。
笔者个人博客网站：https://hk-shao.github.io/
最新文章和更新都会在这里

最后编辑于：2019.01.29 11:59:17

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