1.模型误差:
用数学模型描述实际问题时，往往是抓住主要因素，将问题理想化之后再描述的，对一些次要因素的忽略和近似，造成了模型本身与实际情况的偏差。
例如重力加速度G，重力实际上是引力的一个分力，g值取9.81实际上在忽略了海拔纬度这些变量的影响的一个理想化数值。

2.观测误差:
数值往往由实验观测获得，由于观测的精度和实验的随机性，取得的数据具有观测误差。观测误差是一种偶然误差，可以通过多次测量求取平均值缩小。

3.截断误差：
进行计算时，对于一些需要无限次计算才能求取理论精确值的运算，由于算法是有限的，有限步骤后的结果与理论值的偏差即为截断误差。
例如泰勒展开 $e^*=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^3}{3 !}+...\frac{x^n}{n !}$ 由于只能进行有限次运算，计算到某一项后的余项即为截断误差。

4.舍入误差:
在进行计算时，必须要求参与计算的数的长度有限，否则无法进行计算。在利用计算机进行计算时保存数的长度有限(字长有限)，由此产生的误差称为舍入误差。
例如C语言中做除法时，无法除尽的数只保留了一定的位数，因此产生的误差就是舍入误差，类似还有 $\sqrt{2},\pi$ 等数据。

小结：

误差分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差，模型误差是由于简化理想化模型带来的误差；观测误差则是观测带来的偶然误差，可采用去除大误差点，求平均来减小误差；截断误差则是因为算法有限步完成与无限步得到理论值之间的舍去的余项产生的误差；而舍入误差则是因为计算时存储数字的长度有限，舍去了保存长度外的数字导致的误差。

$\large{\mathbf{2.误差、误差限、相对误差和有效数字}}$

2.1 误差及误差限

[定义1.1]假设某一量的精确值为x,其近似值为x*,则x与x的差称为x的绝对误差，简称误差。
$\varepsilon(x) = x^* - x$ ------①绝对误差

由于绝对误差需要知道精确值x,但一般情况下是不清楚精确值的，故引入误差限的概念。
[定义1.2]若存在一正数 $\eta$ ，使得
$|\varepsilon(x)| = |x^* - x| \leq$ $\eta$ ------②绝对误差限
则称 $\eta$ 为近似值x*的绝对误差限，即误差限的上界，因为上界，故绝对误差限不唯一。
显然有时可以用 $x = x^*\pm\eta$ 来表示精确值 x 的取值范围。

对于不同量的近似值，误差限的大小还不能完全反映近似值的近似程度，此时引入相对误差的概念。
[定义1.3]记 $\varepsilon$ _r = $\frac{\epsilon}{x}$ 为相对误差。
在实际计算中，往往不知道精确值x的准确值，常用近似值x*替代，故 $\varepsilon$ _r = $\frac{\epsilon}{x ^*}$ 。
类似的，定义相对误差限，
[定义1.4] $\varepsilon$ _r = $\frac{\eta}{|x ^*|}$ 为相对误差限。

小结：

误差有绝对误差和相对误差，由于精确值无法确定，故常以误差限来确定范围。由于误差限并不能完全反映近似值相对总体的近似程度，故引入了相对误差这个概念，并类似定义了相对误差。

2.2 有效数字

2.2.1概念

[定义1.5] 若 $x^*$ 的绝对误差限时某一位上的半个单位，且该位直到 $x^*$ 的第一非零数字位一共有n位，则称近似值 $x^*$ 有n位有效数字，或说 $x^*$ 精确到该位。
将近似值x*写成 0.a₁a₂...a_n $\times10^{m}$ 的形式，其中a₁ $\neq$ 0,
若 $|x - x^* | \leq \frac{1}{2}\times 10^{m － n}$ ，则称其有效数字为n位。
例如简单的 $x^*=0.05$ ，若 $\varepsilon(x)=|x^*-x|\leq \frac{1}{2}\times 10^{－m}$ ,则表明其有效数字为1位。

2.2.2有效数字与相对误差限的关系

[定理1]设近似值 $x^*=\pm0.a_{1}a_{2}...a_{n}\times 10^{m}$ 有n位有效数字， $a_{1}\neq0$ ，则其相对误差限为 $\frac{1}{2{a_1}}\times 10^{-n +1}$

证明如下:
$\because \varepsilon(x)=x^* -x, |\varepsilon(x)|\leq\frac{1}{2}\times10^{m-n}=\eta$
$|x^*|\geq a_1\times10^{m-1}$
$\therefore \varepsilon_r(x)=\frac{\eta}{|x^*|}\leq\frac{1}{2a_1}\times 10^{-n+1}$
Tips:
1)相对误差和相对误差限采用的是一个符号
2)定理证明使用了有效数字的定义

[定理2]设近似值 $x^*=\pm0.a_{1}a_{2}...a_{n}\times 10^{m}$ 的相对误差限为 $\frac{1}{2(a_1+1)}\times 10^{-n+1}$ 则其有效数字为n位。

证明如下:
$\because |x^*-x|=\frac{|x^* - x|}{|x^*|}\times|x^ *|$
$|x^*|\leq(a_1+1)\times 10^{m-1}$
$\therefore |x^*- x|\leq\frac{1}{2}\times 10^{m-n}$
结合定义，其有效数字为n位。

已知有效数字求误差限，已知误差限求有效数字。

小结:
涉及的概念:
1)基于产生原因的误差分类
2)误差及误差限的定义
3)有效数字和相对误差限的关系

引用
《计算方法第二版》[崔国华、许如初　编著，洪帆　主审]

误差的概念与计算（一)(习题在第三小节)