每日一题18：913. 猫和老鼠

题目描述

两位玩家分别扮演猫和老鼠，在一张 无向 图上进行游戏，两人轮流行动。
图的形式是：graph[a] 是一个列表，由满足 ab 是图中的一条边的所有节点 b 组成。
老鼠从节点 1 开始，第一个出发；猫从节点 2 开始，第二个出发。在节点 0 处有一个洞。
在每个玩家的行动中，他们 必须 沿着图中与所在当前位置连通的一条边移动。例如，如果老鼠在节点 1 ，那么它必须移动到 graph[1] 中的任一节点。
此外，猫无法移动到洞中（节点 0）。
然后，游戏在出现以下三种情形之一时结束：
如果猫和老鼠出现在同一个节点，猫获胜。
如果老鼠到达洞中，老鼠获胜。
如果某一位置重复出现（即，玩家的位置和移动顺序都与上一次行动相同），游戏平局。
给你一张图 graph ，并假设两位玩家都都以最佳状态参与游戏：
如果老鼠获胜，则返回 1；
如果猫获胜，则返回 2；
如果平局，则返回 0 。

例1

输入：graph = [[2,5],[3],[0,4,5],[1,4,5],[2,3],[0,2,3]]
输出：0

例2

提示：
3 <= graph.length <= 50
1 <= graph[i].length < graph.length
0 <= graph[i][j] < graph.length
graph[i][j] != i
graph[i] 互不相同
猫和老鼠在游戏中总是移动

题解

此题目是个博弈问题，官方有关博弈问题的讲解：在阐述具体解法之前，首先介绍博弈问题中的三个概念：必胜状态、必败状态与必和状态。
对于特定状态，如果游戏已经结束，则根据结束时的状态决定必胜状态、必败状态与必和状态。
如果分出胜负，则该特定状态对于获胜方为必胜状态，对于落败方为必败状态。
如果是平局，则该特定状态对于双方都为必和状态。
从特定状态开始，如果存在一种操作将状态变成必败状态，则当前玩家可以选择该操作，将必败状态留给对方玩家，因此该特定状态对于当前玩家为必胜状态。
从特定状态开始，如果所有操作都会将状态变成必胜状态，则无论当前玩家选择哪种操作，都会将必胜状态留给对方玩家，因此该特定状态对于当前玩家为必败状态。
从特定状态开始，如果任何操作都不能将状态变成必败状态，但是存在一种操作将状态变成必和状态，则当前玩家可以选择该操作，将必和状态留给对方玩家，因此该特定状态对于双方玩家都为必和状态。

对于每个玩家，最优策略如下：
争取将必胜状态留给自己，将必败状态留给对方玩家。
在自己无法到达必胜状态的情况下，争取将必和状态留给自己。

最多的是用动态规划，其次最大最小极值法。

class Solution {
    static final int MOUSE_WIN = 1;
    static final int CAT_WIN = 2;
    static final int DRAW = 0;
    int n;
    int[][] graph;
    int[][][] dp;

    public int catMouseGame(int[][] graph) {
        this.n = graph.length;
        this.graph = graph;
        this.dp = new int[n][n][n * 2];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                Arrays.fill(dp[i][j], -1);
            }
        }
        return getResult(1, 2, 0);
    }

    public int getResult(int mouse, int cat, int turns) {
        if (turns == n * 2) {
            return DRAW;
        }
        if (dp[mouse][cat][turns] < 0) {
            if (mouse == 0) {
                dp[mouse][cat][turns] = MOUSE_WIN;
            } else if (cat == mouse) {
                dp[mouse][cat][turns] = CAT_WIN;
            } else {
                getNextResult(mouse, cat, turns);
            }
        }
        return dp[mouse][cat][turns];
    }

    public void getNextResult(int mouse, int cat, int turns) {
        int curMove = turns % 2 == 0 ? mouse : cat;
        int defaultResult = curMove == mouse ? CAT_WIN : MOUSE_WIN;
        int result = defaultResult;
        int[] nextNodes = graph[curMove];
        for (int next : nextNodes) {
            if (curMove == cat && next == 0) {
                continue;
            }
            int nextMouse = curMove == mouse ? next : mouse;
            int nextCat = curMove == cat ? next : cat;
            int nextResult = getResult(nextMouse, nextCat, turns + 1);
            if (nextResult != defaultResult) {
                result = nextResult;
                if (result != DRAW) {
                    break;
                }
            }
        }
        dp[mouse][cat][turns] = result;
    }
}

总结

算法相关的知识：
1、博弈问题
2、极值问题
3、动态规划
4、DFS、BFS
5、图论相关的知识及拓扑排序