基本不等式
基本不等式的基础形式
,其中 ,当且仅当 时等号成立.
,其中 ,当且仅当 时等号成立.
对勾函数
双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。因函数图像和耐克商标相似,也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”
常见题型
积(和)为定值
e.g.
若实数 满足 ,则 的最大值是______.
Sol:
由基本不等式
,当且仅当 时等号成立.
函数 的图像恒过定点 A ,若该点在直线 上,则 的最大值为______.
Sol:
易知函数 必过点 ,又 在直线 上.
所以有
.
当且仅当 时,等号成立.
e.g.
已知函数 ,则 取最小值时对应的 值为______.
Sol:
当且仅当 ,
即 时,取到最小值.
已知 ,则 的最小值为______.
Sol:
当且仅当 时等号成立.
e.g.
若对任意的 恒成立,则 的取值范围是______.
Sol:
恒成立,
即
已知 ,若不等式 恒成立,则 的取值范围是______.
Sol:
恒成立,
即
当且仅当 时,
即 时,等号成立.
即
其他
e.g.
(1) 的最小值;
(2) 的最小值.
Sol:
(1) 令
(2) 令
糖水不等式
e.g.
数列
(1) 证明: 为等比数列,并求出 的通项公式.
(2) 证明:
Sol:
(1)
为公比为 3 的等比数列.
(2)
得证.
若 ,则
技巧题(套路题)
已知 求 的最大值.
Sol:
想通过乘法获得
于是设
即
上述两式相乘可得
易错
e.g.
. 求 的最小值
因为这题是易错题,所以先给可能的错误解法:
这个时候取等号的条件是 显然与 矛盾,所以我们在用基本不等式的时候,要判断一下,我们能否能取到等号.
正确解法:
当且仅当
带入上式得
注:若这里我们对 进行均值不等式计算,是无解的.
推广
权方和不等式
试
Sol:
显然成立.
Sol:
从第二项开始放缩
Sol:
同样从第二项开始放缩
Sol:
同样从第二项开始放缩
- (2017 天津 文科数学 T13)
已知两个实数 有 ,求 的最小值.
Sol:
当且仅当 时,等号成立.
- (2017 北京 文科数学 T11)
已知在 且 的条件下,有 ,求 的取值范围.
Sol:
又
- (2019 全国卷1 理科 T23)
已知 为正数,且满足 . 证明:
(1)
(2)
Sol:
(1)
只需证明
整理得
这个不等式是显然的.
(2)
当且仅当 时,等号成立.
补充
1.已知正项数列 的前 项和 满足:
,则数列 的通项公式 为______.
Sol:
是正项数列
当 时,
综上所述,
2.已知正项数列 ,满足 ,求数列 的通项公式.
Sol:
得到 是一个公差为 1 的等差数列.
又
综上所述,
3.已知数列 满足 ,则
Sol:
因为后一项只与前一项有关,所以可以看出周期为 3
所以选 .