北师大必修四三角函数复习小结

必修四包括了三个章节:第一章:三角函数;第二章:平面向量;第三章:三角恒等变形。这三个章节中,平面向量作为工具出现,所以,必修四的主要考察的内容是第一章和第三章,也就是说必修四的主要讲的内容是三角函数。

题型一:化简求值

化简求值的题目可以进一步细分为给角求值,给值求值,给值求角三种类型。

  • 给角求值
    给角求值,主要是三角函数题目例如sin(330^o)=?,或者sin(\frac{13\pi}{3})= ?给出角度或者弧度制进行题目的值得求解。
  • 给值求值
    给值求值,在第一章节中常常是在诱导公式中给出,诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。在题目当中,也常常结合tan\alphasin\alpha cos\alpha 之间的关系进行求解。也即需要用到同角三角函数的两个基本关系。sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1,tan\alpha= \frac{sin\alpha }{cos\alpha }
    给出的题目如下:已知tan\alpha =3,求
    \frac{3sin\left ( \frac{3\pi }{2}-\alpha \right )+5sin\left ( \alpha -3\pi \right )}{4cos\left ( -\pi -\alpha \right )+2cos\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )}
    或者由第三章节的三角恒等变形的知识求解和与差的值,这一块,也是需要用到同角三角函数的基本关系.
    常见的题型的解题步骤:第一步: 确定角的范围;第二步:根据角的范围确定三角函数值;第三步:根据拼角和拆角确定最后所需要的公式。
    例如:已知tan\left ( \alpha -\frac{\pi }{6} \right )=\frac{3}{7},tan\left ( \frac{\pi }{6}+\beta \right )=\frac{2}{5}
    tan\left ( \alpha +\beta \right )=??
  • 给值求角
    在给值求角的题目中,需要利用三角函数图像进行解决问题,并处理。
    三角函数图像\sin\left ( x \right )=\frac{1}{2}
    采用三角函数图像

在给值求角的问题中,要关注角的取值范围.

\sin\alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}\

\alpha\in \left (\frac{ \pi }{2}, \pi \right )

\cos\beta=\frac{-3\sqrt{10}}{10}\

\beta\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)

\alpha-\beta= ??

题型二、三角函数图像及性质

三角函数的定义是沿着先确定三角函数的的角度的拓展,从\left[0,2\pi\right]拓展到了全体实数,同时,三角函数的定义是从单位圆下定义。\mu=cos\alpha\nu=sin\alpha.同时,也给出了三角函数线的定义,这个与第二章所讲过的知识练习在一起了。
研究三角函数的性质从以下的几个方面

  • 定义域
  • 值域
  • 奇偶性
  • 周期性
  • 单调性
  • 最值
  • 对称性

从这几个方面逐一地去研究一个函数的性质,利用函数的图像,在依据函数的图像的平移、伸缩变换规律来得到其他的函数。f(x)=Asin\left ( \omega x+\varphi \right )+b
函数图像如下

f(x)=sin(x)

g(x)=cos(x)

f(x)与g(x)对比

h(x)=tan(x)

函数的图像问题,还可以与分段函数结合,也可数形结合求解零点问题,或者交点问题。PS.对于函数问题,一定要有数形结合的思想

题型三、三角函数与其他基本初等函数结合

三角函数与其他的基本初等函数结合,注意复合函数的性质,在单调性中同增异减
复合函数的图像不容易绘制出来,需要结合函数的定义域,以及在0,\pm \infty的趋向值来确定大致图像。
若是涉及到函数的图像问题,也是需要将较难的题目进行逐步的分解,最后得到答案。

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