空间曲线参数方程

$\mathrm{d}S$ = $\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2+(\mathrm{d}z)^2}$

二维直线
经过点（x0,y0）方向向量为（m,n）,(其中m=cosθ，n=sinθ) 的直线的参数方程如下：
$\begin{Bmatrix} x \\ y \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{Bmatrix} + t \begin{Bmatrix} cosθ \\sinθ \end{Bmatrix} 参数为 t$
三维直线
经过点（x0,y0,z0）方向向量为（m,n,p）的直线的参数方程如下：
$\begin{Bmatrix} x \\y \\ z \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} x_0 \\ y_0 \\z_0 \end{Bmatrix} + t \begin{Bmatrix} m \\ n \\p \end{Bmatrix} 参数为 t$
二维圆
圆心为(x0,y0,0),半径为R的圆位于X轴为(1,0,0),Y轴为(0,1,0)的平面上的圆的参数方程如下：
$\begin{Bmatrix} x \\ y \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{Bmatrix} + R \begin{Bmatrix} cosθ \\sinθ \end{Bmatrix} 参数为θ$

2dcircle.png

三维圆
圆心为(x0,y0,z0),半径为R的圆位于X轴为(ax,ay,az),Y轴为(bx,by,bz)的平面上的圆的参数方程如下：
$\begin{Bmatrix} x \\y \\ z \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} x_0 \\ y_0 \\z_0 \end{Bmatrix} + Rcosθ \begin{Bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{Bmatrix} + Rsinθ \begin{Bmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{Bmatrix} 参数为 θ$

3dcircle.png

特别的当平面的X轴为(1,0,0),Y轴为(0,1,0)时，,上式变为

$\begin{Bmatrix} x \\y \\ z \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} x_0 \\ y_0 \\z_0 \end{Bmatrix} + Rcosθ \begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix} + Rsinθ \begin{Bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{Bmatrix}$
$=\begin{Bmatrix} x_0 \\ y_0 \\0 \end{Bmatrix} + R \begin{Bmatrix} cosθ \\ sinθ \\ 0 \end{Bmatrix}$

所以对于任意平面内的圆，可以先计算基准坐标系中的圆然后通过坐标变换转换为所求平面内的圆。

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