对数均值不等式

现在有空闲时间，写个对数均值不等式的证明.

（对数均值不等式） $\forall a>b>0, a \neq b, \quad \sqrt{a b}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}$ .

$1^{\circ}$ 先证 $\sqrt{a b}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}$

要证 $\sqrt{a b}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}$ ，因为 $\ln a-\ln b>0$ ，只需证 $\ln a-\ln b<\dfrac{a-b}{\sqrt{ab}}$ ，

即 $\ln\dfrac{a}{b}<\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2}$ ，因为 $\ln\dfrac{a}{b}>0$ ，变为 $\ln^2\dfrac{a}{b}<\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2$ ，

构造函数 $f(x)=\ln^2x-x-\dfrac{1}{x}+2 \quad (x>1)$ ，则 $f'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}-1+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{2x\ln x-x^2+1}{x^2}$ ，

令 $g(x)=2x\ln x-x^2+1$ ， $g'(x)=2(\ln x-x+1)$ ， $g''(x)=\dfrac{2(1-x)}{x}<0$ ，

所以 $g'(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 单减， $g'(x)<g(1)=0$ ，所以 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 单减， $g(x)<g(1)=0$ ，即 $f'(x)<0$ ，所以 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 单减， $f(x)<f(1)=0$ ，不等式得证.

$2^{\circ}$ 再证 $\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}$

要证 $\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}$ ，因为 $\ln a-\ln b>0$ ， $a-b>0$ ，只需证 $\dfrac{2(a-b)}{a+b}<\ln a-\ln b$ ，即 $\dfrac{2(\dfrac{a}{b}-1)}{\dfrac{a}{b}+1}<\ln\dfrac{a}{b}$ ，变为 $2(\dfrac{a}{b}-1)<\ln\dfrac{a}{b}(\dfrac{a}{b}+1)$ ，

构造函数 $h(x)=(x+1)\ln x-2(x-1)\quad (x>1)$ ， $h'(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}-1$ ， $h''(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}>0$ ，所以 $h'(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 单增， $h'(x)>h'(1)=0$ ，所以 $h(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 单增， $h(x)>h(1)=0$ ，不等式得证.

由 $1^{\circ}$ $2^{\circ}$ 知，原不等式成立.

反思：以上证明所用到构造函数证明二元不等式的方法，是通性通法，需好好借鉴.

最后编辑于：2020.05.24 22:39:20

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