今天的开篇就是标题

你一直幻想的情人就像是有理数，明明知道到处都是，但你往数轴上随便一戳，戳中的概率是0！

不管你信也好，不信也罢，这的确是个事实……

要说明这个问题，需要一步步来证明：

1. 有理数的可数性；

2. 实数的不可数性；

3. 克服心理障碍去理解概率.

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01

有理数的可数性证明

什么是“可数”？

如果元素能像整数集那样排成一个序列，就称这个集合为可数的.

有理数也可排成一行，每个元素与整数集的每个元素，

是一对一的，因此有理数集也就是可数的.

整 数：   1    2   3   4   5 ......  n ......

有理数：r1 r2  r3  r4  r5 ...... rn ......

证明：一个有理数，可以表示为q/p形式（p与q都为整数）.

所有有理数（每一个都是q/p），都能布置成在第a列第b行.

比如：2/5 在第二列第5行；1/3 在第一列第3行……

然后，在这个布阵中画一条连续的折线，

沿这条折线走，

再消去所有p和q有公因子的数,

能得到一个序列，这个序列，

使每一个有理数以最简单的方式恰好出现一次——

因为每一个正有理数出现一次，而且只出现一次，

说明全体正有理数是可数的.

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02

实数的不可数证明

由于有理数集是可数的，

因此人们可能猜测任何无限集都是可数的，

但是，实数（有理数和无理数）却是不可数的！

证明简介：康托用反证法，天才地给出了一个证明。

证明的大概意思：如果假设实数集可数，那所有实数集元素，就可以排列成一个无限的十进位小数表.

可以取一个数，其第一个小数位，不同于前述小数表第一个数的小数位第一位；

其第二个小数位，不同于小数表第二个数的小数位第二位；

……

以此类推，小数第n位，不同于小数表第n个数的小数位第n位；

这样得到的数，不同于小数表上的任何一个数，因此假设不成立，所以实数集不可数.

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03

在单位区间（0,1）中，随机选取一个实数，则其为有理数的概率是多大？

构造区间 （0,1） 上的函数:

D(x)=1，x∈有理数；D(x)=0，x∈无理数；

其实这就是狄利克雷(Dirichlet)函数.

即该函数取值为1时的概率.

答案是0.

简单理解：

在实数范围内，取任意一个实数，得到有理数的概率，

根据有理数可数性，假设有理数势为单位1，实数为：+∞，

则：P=1/（+∞）=0.

这里需要克服心理障碍，

比如在区间（0,1）内，我们明明可以取到有理数0.5、0.3之类的，

为什么概率为 0 呢？

用一句话来表示就是：

一件事情不可能发生，则其发生的概率为0；

如果一件事发生的概率为0，但是却可能发生.

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