在某市A区注册的建筑公司，承包了一项位于B区的工程，招用了王某，试用期三个月，包吃包住，每月工资是当地最低工资标准，试用期结束后签订书面劳动合同，再缴纳社会保险。为了节约成本，公司安排王某住在偏远的C区，每天坐班车到B区上班。王某上班不久后，被高空坠落物砸伤。公司将王某送入医院后，认为肯定会花一大笔钱，于是将王某遗弃在医院。王某在亲戚的资助下得到治疗，花费医疗费用12000元。出院后，王某找到建筑公司，要求支付医疗费用，建筑公司拒绝并仍否认王某曾经在建筑公司工作过。王某听过法制宣传，表示要去申请劳动争议仲裁。建筑公司回应，仲裁不管用，要去就去法院，并表示奉陪到底。
问题1：王某是否可以直接去法院起诉建筑公司，要求支付医疗费用？
王某不能直接去法院起诉。工伤医疗费的争议属于劳动争议，只能先去仲裁，对仲裁裁决结果不服可以进行诉讼。
问题2：王某申请劳动争议仲裁，A、B、C三区都有劳动争议仲裁机构，王某应去哪个区申请仲裁？
王某可以选择A、B两区的任何一个仲裁机构申请仲裁。《劳动争议调解仲裁法》第二十一条规定，劳动争议由劳动合同履行地或者用人单位所在地仲裁机构管辖。
问题3：对于王某和建筑公司之间是否存在劳动关系，应由谁来证明？
由王某来证明。《劳动争议调解仲裁法》第六条规定，发生劳动争议，当事人对于自己提出的主张，有责任提供证据。因为王某主张劳动关系的存在，而建筑公司主张劳动关系不存在。根据举证规则，主张法律关系存在的当事人，对法律事实负举证责任。
