大家好，今天我们来讲讲排序算法。
我们讲解的顺序按照时间复杂度来分，分成了3类，见下表——
| 章节 | 排序算法 | 时间复杂度 | 是否基于比较 |
|---|---|---|---|
| 一 | 冒泡、插入、选择 | O(n^2) | 是 |
| 二 | 快排、归并 | O(nlogn) | 是 |
| 三 | 桶、计数、基数 | O(n) | 否 |
首先像一个问题，为什么插入排序比冒泡排序火呢？
**如何分析一个“排序算法”？ **
排序算法的执行效率
**最好、最坏、平均情况时间复杂度 **
时间复杂度的系数、常数、低阶
比较次数和交换或移动次数
一般分为两种：1. 元素比较大小；2. 元素交换或者移动。所以这两种情况所发生的次数很重要。
排序算法的内存消耗
- 内存消耗一般是用空间复杂度来衡量，针对排序算法的空间复杂度，我们还会引入一个新的概念——原地排序，其空度为O(1)，这篇博客要讨论的三种算法，都是原地排序算法
排序算法的稳定性
比如一组数据：2 9 3 4 8 3，排序后为2 3 3 4 8 9.
里面有两个3，如果经过排序后，两个3的前后顺序没有改变，那它就是stable的。
为什么要在乎这个前后呢？
因为真正的软件开发中，排序的是一组对象，我们要按照对象的某个key来排序。
我们来举个栗子：
一共有10万人下单，我们先按下单时间排序。排序完成后，再用稳定排序算法对于下单金额重新排序。两遍排序过后，我们得到的结果就是——订单按照金额大小排序，金额相同的订单按照下单时间从早到晚排序
重点就在于稳定排序算法可以保持金额相同的两个对象，在排序之后前后顺序不变
第一次排序后，得到的是所有订单按照下单时间从早到晚有序了；
第二次排序后，得到的是相同金额的订单仍然保持订单时间从早到晚有序。
看一张示意图——
订单排序示意图
冒泡排序
Bubble Sort
OK, 我们从BS开始，学习今天的三种排序算法——
BS只会操作相邻的两个数据。 每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看看是否满足大小关系要求。
如果不满足要求，就让他俩互换， 需要注意，一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置， 重复n次，就完成了N个数据的排序。
我们来看一个栗子——
经过第一次排序，6这个元素已经存储在正确的位置上了，一共有6个元素，所以只要进行6次这样的操作就好了。
我们都知道，算法是可以优化的。BS也不例外，当某次冒泡操作已经没有数据交换时，说明达到了完全有序，不用在执行后面的操作。我们看看下图——
现在，我们来考虑三个问题：
第一，BS是原地排序算法吗？
I believe that 冒泡的过程只涉及到了相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空度为O(1), 是一个原地排序算法。
第二，BS是稳定的排序算法吗？
Yes, cuz 在BS中，只有交换才可以改变两个元素的前后顺序，元素相等的时候，不做交换，所以相同的数据的前后顺序不会改变，So, 稳定的！
第三，BS的时间复杂度是多少？
if 数据是有序的，只需要进行一次冒泡操作，就可以结束。所以时度是O(n)。
else if 数据是倒序排列，我们需要进行n次冒泡操作，所以最坏的时间复杂度为O(n^2)
我们再来看看平均时间复杂度， 平度就是加权平均期望时间复杂度。分析如下——
对于包含N个数据的数组，这n个数据就有n!种排列方式。不同的排列方式，冒泡排序执行时间一定不一样
比如上面的两个栗子——第一个需要6次冒泡，第二个需要4次冒泡。
为了可以更好的分析，我们来引进两个概念——
- 有序度
- 逆序度
有序度——
数组中具有有序关系的元素对的个数，数学模型如下：
有序元素对：a[i] <= a[j], 如果i < j。
因此，对于一个倒序排列的数组， 比如6 5 4 3 2 1，有序度就是0；
对于一个完全有序的数组，比如 1 2 3 4 5 6，有序度就是n(n-1)/2, 也就是15，也叫满有序度*。
逆序度——
逆序度的定义正好跟有序度相反（默认从小到大为有序），我想你应该已经想到了。关于逆序度的栗子如下：
逆序元素对：a[i] > a[j], 如果i < j。
关于这三个概念，有一个公式：逆序度 = 满有序度 - 有序度
所以，我们排序的过程就是一种增加有序度，减少逆序度的过程，最后达到满有序度，说明排序完成。
BS包含两个操作原子——比较和交换
每交换一次，有序度就加1。不管算法怎么改变，交换次数总是确定的，即为逆序度，也就是n(n-1)/2–初始有序度*。
例如上面的15-3=12，进行12次交换操作。
对于包含 n 个数据的数组进行冒泡排序，平均交换次数是多少呢？最坏情况下，初始状态的有序度是 0，所以要进行 n(n-1)/2 次交换。最好情况下，初始状态的有序度是 n(n-1)/2，就不需要进行交换。我们可以取个中间值 n(n-1)/4，来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。换句话说，平均情况下，需要 n(n-1)/4 次交换操作，比较操作肯定要比交换操作多，而复杂度的上限是 O(n2)，所以平均情况下的时间复杂度就是 O(n2)。
好嘞，接下来到我们的插入排序了，简记为IS
IS 是一个动态排序的过程，也就是动态地往有序集合中添加数据，in this way, 我们可以保持集合中的数据一直有序，当然，对于一组静态数据，也是一样的。
那么IS是如何借助上面的思想来实现sort 的呢？
-
将数组中的数据分为两个区间，已排序区间、未排序区间
刚开始的时候，已排序区间只有一个元素，就是数组中的第一个元素。
IS的核心思想是取未排序区间中的元素，在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入，
并且，保证已排序区间的数据一直有序，重复这个过程，直到未排序区间中的元素为空，算法结束。
举个栗子——
要排序的数据是 4，5，6，1，3，2，其中左侧为已排序区间，右侧是未排序区间
同样的，IS也包含两种操作，元素的比较和元素的移动
当我们需要将一个数据 a 插入到已排序区间时，需要拿 a 与已排序区间的元素依次比较大小，找到合适的插入位置。找到插入点之后，我们还需要将插入点之后的元素顺序往后移动一位，这样才能腾出位置给元素 a 插入。
从头到尾、从尾到头 分别是不同的查找插入点的方法，元素的比较次数是有区别的。
但是对于一个given的初始序列，移动操作次数总是固定的，就等于逆序度。
可能有的人不太懂为什么移动次数就等于逆序度？
我们来看张图，估计你就明白了——
OK，我们继续开始三个问题——
第一，IS是原地排序算法吗？
IS的运行并不需要额外的存储空间，所以空度为O(1)，所以，是原地。
第二，IS是稳定的排序算法吗？
在IS中，对于值相同的元素，我们可以选择将后面出现的元素，插入到前面出现元素的后面，in this way,就可以保证原有的前后顺序不变，所以IS是稳定的
第三，IS的时间复杂度是多少？
如果要排序的数据已经是有序的，我们并不需要搬移任何数据。如果我们从尾到头在有序数据组里面查找插入位置，每次只需要比较一个数据就能确定插入的位置。所以这种情况下，最好是时间复杂度为 O(n)。
注意，这里是从尾到头遍历已经有序的数据。如果数组是倒序的，每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据，所以需要移动大量的数据，所以最坏情况时间复杂度为 O(n2)。
还记得我们在数组中插入一个数据的平均时间复杂度是多少吗？没错，是 O(n)。所以，对于插入排序来说，每次插入操作都相当于在数组中插入一个数据，循环执行 n 次插入操作，所以平均时间复杂度为 O(n^2)。
下次，我们来讲选择排序和文章一开始所讨论的问题。
