你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个数学游戏。美女提议：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。”那么该不该和这位姑娘玩这个游戏呢？
每一种游戏依具其规则的不同会存在两种纳什均衡，一种是纯策略纳什均衡，也就是说玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都赚得最多或亏得最少；或者是混合策略纳什均衡，而在这个游戏中，便应该采用混合策略纳什均衡。
假设我们出正面的概率是x，反面的概率是1-x，美女出正面的概率是y，反面的概率是1-y。为了使利益最大化，应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等，由此列出方程就是
3x + (-2)(1-x) = (-2) * x + 1*( 1-x )——解方程得x=3/8；
同样，美女的收益，列方程-3y + 2( 1-y) = 2y+ (-1) * ( 1-y)——解得y也等于3/8。
于是，我们就可以算美女每次的期望收益是：(1-y)(2x-(1-x)) + y(-3x+2(1-x)) = 1/8元，也就是说，双方都采取最优策略的情况下，平均每次美女赢1/8元。
计算解释：
1.(1-y)(2x-(1-x)) 代表着：美女出反面时，获得的收益 = 你出正面*美女的损益 + 你出反面*美女的损益
2.y(-3x+2(1-x)) 代表着：美女出正面时，获得的收益 = 你出正面*美女的损益 + 你出反面*美女的损益
其实只要美女采取了(3/8,5/8)这个方案，不论你再采用什么方案，都是不能改变局面的。
如果你全部出正面，你每次的期望收益是 (3+3+3-2-2-2-2-2)/8=-1/8元；
如果你全部出反面，你每次的期望收益也是(-2-2-2+1+1+1+1+1)/8=-1/8元。
如果你用完全随机 (1/2, 1/2) 策略，你的收益是 1/2 * (3/8 * 3 + 5/8 * (-2)) + 1/2 * (3/8 * (-2) + 5/8 * 1) = -1/8；
计算解释：
1.1/2 * (3/8 * 3 + 5/8 * (-2)) 代表着：当你有1/2的概率出正面的时候，你的收益为：美女出正面的概率*你的损益 + 美女出反面的概率*你的损益
2.1/2 * (3/8 * (-2) + 5/8 * 1) 代表着：当你有1/2的概率出反面的时候，你的收益为：美女出正面的概率*你的损益 + 美女出反面的概率*你的损益
实际上，不论你用什么策略，你的收益都是 -1/8，也就是说，随便玩一种策略，你都是在纳什均衡状态中的，所以，这个把戏你随便怎么玩，都是亏的。
这个例子中是没有纯战略纳什均衡的，因为只出一种策略，肯定有一方要亏钱，所以并不是其均衡状态（明明只要换一边就可以赚钱了，所以不是最佳策略）；而混合纳什均衡是纯在的，事实上，Nash告诉我们“每个参与者都只有有限种策略选择、并允许混合策略的前提下，纳什均衡一定存在”，如果美女出(3/8,5/8)这个方案，另一边任何玩法都是期望收益一样的，也就满足了纳什均衡的条件。
