数理方程-浅谈齐次化原理

笔者刚学《数理方程》不久，就齐次化原理谈谈自己的理解，有不对的地方欢迎交流批评指正。

齐次化原理是数理方程中非常重要的定理，在各种情况的方程都会用到。在此以最简单的一维波动方程柯西问题为例：（为方便起见，命名为方程A）
$(A)\left\{\begin{array}{} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2 \frac{ \partial^2u}{\partial x^2} = f(x,t) ,&(t>0,-\infty<x<+\infty) \\ u=\varphi(x), \frac{ \partial u}{\partial t}=\psi(x),& (t=0,-\infty<x<+\infty) \end{array}\right.$

解决本题的第一步是，由“叠加原理”，分成一个 $f=0$ 的问题和一个 $\varphi=\psi=0$ 的问题。第二个问题可由达朗贝尔公式直接求解，第一个方程使用“齐次化原理”化成第二个方程的形式，再由达朗贝尔公式求解。

下面具体分析第二个方程的“齐次化原理”部分：（方程B）
$(B)\left\{\begin{array}{} \frac{ \partial^2u}{\partial t^2}-a^2 \frac{ \partial^2u}{\partial x^2} = f(x,t),&(t>0,-\infty <x<+\infty) \\ u=0, \frac{ \partial u}{\partial t}=0,& (t=0,-\infty<x<+\infty) \end{array}\right.$

首先给出齐次化原理的定义：
构造一个方程组（方程C）
$(C)\left\{\begin{array}{} \frac{ \partial^2W}{\partial t^2}-a^2 \frac{ \partial^2W}{\partial x^2} = 0 &(t>\tau,-\infty<x<+\infty) \\ W=0, \frac{ \partial W}{\partial t}=f(x,\tau)& (t=\tau,-\infty<x<+\infty) \end{array}\right.$

若它的解是 $W(x,t;\tau)$ ，则原问题的解为
$u(x,t) = \int_0^t W(x,t;\tau)d\tau$

下面介绍它的意思：

首先是这个问题的物理模型，毕竟我们是数理方程课，几乎所有的数学结论都有物理解释，而反过来也可以从物理现象为数学定理提供思路。

本题（方程B）描述的是，一根弦，无限长（即不考虑边界的影响），且在初始时刻（ $t=0$ )，绳子的位置在正中间的平衡位置（ $u=0$ ）（不考虑重力，只考虑绳子本身的微小振动），也没有初始速度（ $\frac{ \partial u}{\partial t}=0$ ）。但每时每刻有外力 $f(x,t)$ 作用于绳子。

首先，为了简单研究，我们将连续的时间分成一段一段的，这也是一个微元法的思想，先切割成小段离散的研究，最后再取极限变成连续的情况。打个比方，我们研究 $t\in [0,T]$ 的绳子运动，那我们就将它看成 $n$ 个 $\Delta\tau$ （ $n\Delta\tau=T$ ），每个 $\Delta\tau$ 内各个部分受到的力不变，这样就有 $\int_t^{t+\Delta\tau}f(x,y)dy=f(x,t)\Delta\tau$ 。

再由物理中的动量守恒定律，简单的写就是 $ft = m\Delta v$ ，冲量等于动量的增量。由这个物理定律，我们可以把“在一段时间内没有初速度但受到外力作用导致的冲量”等同与“在一段时间内有初速度但没有外力导致的冲量”。按照这个思路，我们能写出方程C并推导出齐次化原理。

下面使用微元法试图推导：（这个过程是按自己理解写的，不一定严谨）

我们可以近似的将每 $\Delta\tau$ 时间的力 $f$ 导致的冲量 $f\Delta\tau$ 变成一个速度增量 $f\Delta\tau$ （这里忽略质量m，我物理不好我解释不清楚m了……），就是绳子每过 $\Delta\tau$ 就获得一个速度增量。再由叠加原理，我们可以证明在本问题中（方程B），力对绳子的作用近似的等于由好多个时刻的速度增量的作用叠加近似。

也就是说，在我们的例子中，可以给出 $n$ 个方程：
$(D)\left\{\begin{array}{} \frac{ \partial^2W}{\partial t^2}-a^2 \frac{ \partial^2W}{\partial x^2} = 0 ,&(t>\tau_i,-\infty<x<+\infty) \\ W=0, \frac{ \partial W}{\partial t}=f(x,\tau_i)\Delta\tau.& (t=\tau_i,-\infty<x<+\infty) \end{array}\right.\\ \tau_i=i\Delta\tau,i=0,\cdots,n-1$

最后他们的解的和等于原问题的解。当 $i=0$ ，表示 $[0,\tau_1]$ 的力转化为 $\tau_0$ 时刻的初速度。当 $i=1$ ，表示 $[\tau_1,\tau_2]$ 的力转化为 $\tau_1$ 时刻的初速度，这条绳子在 $t\in [0,\tau_1]$ 内静止不动，在 $\tau_1$ 时获得一个初速度，之后由方程的第一个式子描述的运动开始运动。后几个类似。

当我们解出这 $n$ 个方程的解 $W(x,t;\tau_i)$ ，（求解的时候需要用一步换元把 $t>\tau$ 改成 $t'>0$ ，之后套用达朗贝尔公式）
$W(x,t;\tau_i)=\frac{1}{2a}\int_{x-a(t-\tau_i)}^{x+a(t-\tau_i)}f(\alpha,\tau_i)\Delta\tau \mathrm{d}\alpha=\Delta\tau\frac{1}{2a}\int_{x-a(t-\tau_i)}^{x+a(t-\tau_i)}f(\alpha,\tau_i) \mathrm{d}\alpha$

令
$W'(x,t;\tau_i)=\frac{W(x,t;\tau_i)}{\Delta\tau}=\frac{1}{2a}\int_{x-a(t-\tau_i)}^{x+a(t-\tau_i)}f(\alpha,\tau_i) \mathrm{d}\alpha$

则原方程的解为
$u(x,T) = \sum_{i=0}^{n-1}W(x,T;\tau_i)=\sum_{i=0}^{n-1}W'(x,T;\tau_i)\Delta\tau$

并且可以看出 $W'$ 是以下方程的解
$(E)\left\{\begin{array}{} \frac{ \partial^2W}{\partial t^2}-a^2 \frac{ \partial^2W}{\partial x^2} = 0 ,&(t>\tau_i,-\infty<x<+\infty) \\ W=0, \frac{ \partial W}{\partial t}=f(x,\tau_i).& (t=\tau_i,-\infty<x<+\infty) \end{array}\right. \\ \tau_i=i\Delta\tau,i=0,\cdots,n-1$

方程E与方程D只有第二行 $\frac{\partial W}{\partial t}$ 不同，对应方程C。

令 $\Delta\tau\rightarrow0$ ，就得到了积分的形式，也就是齐次化原理：
$u(x,T) = \int_0^T W'(x,T;\tau)d\tau$

数理方程-浅谈齐次化原理

下面介绍它的意思：

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